Числа на Фибоначи
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/34%2A21-FibonacciBlocks.png/350px-34%2A21-FibonacciBlocks.png)
Числата на Фибоначи в математиката образуват редица, която се дефинира рекурсивно по следния начин:
- F(0) = 0
- F(1) = 1
- F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Започва се с 0 и 1, а всеки следващ член на редицата се получава като сума на предходните два. Първите числа на Фибоначи са:
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Ето някои от основните свойства на числата на Фибоначи:
- [F(n),F(m)]=F[(m,n)] т.е. НОД на числата F(n) и F(m) e число на Фибоначи с индекс НОД(m,n)
- F(n+k)=F(k-1)*F(n) + F(k)*F(n+1)
- F(k)/F(kn) за произволно n
- Отношенията са приближени дроби на златното сечение φ и по-специално .
Числата на Фибоначи могат да се бележат и с u(n).
Произход
[редактиране | редактиране на кода]Италианският математик Леонардо Фибоначи публикува през 1202 г. редица от числа, всяко от които се получава като сума от предходните две, като първите две числа са 0 и 1: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Той е научил за тази редица от числа по време на пътешествията си в страните от тогавашния Изток и редицата е била наречена на негово име, защото я е популяризирал.
Оказва се, че колкото по-големи са числата от редицата на Фибоначи, толкова отношението на двете последни числа се приближава до 'златното сечение' и при граничен преход (при безкраен брой числа в редицата) става равно на 'златното сечение'.
Често редицата на Фибоначи се свързва и със следната задача: Чифт зайци (мъжки и женски екземпляр) могат да произведат за единица време (напр. един месец) нов чифт зайци, които продължават да се размножават (в класическата задача на Фибоначи на новородения чифт зайци са му необходими два месеца, за да дадат първото си поколение, след което продължават да се размножават всеки месец). Колко е броят на живите чифтове зайци след определено време, ако никой не унищожава зайците? Отговорът се дава от последното число в редицата на Фибоначи. Разбира се, тази задача е чисто илюстративна.
Оказва се обаче, че твърде много закономерности, наблюдавани в природата и в поведението на човека, могат да се опишат, макар и с някаква по-малка или по-голяма грешка, с числа от редицата на Фибоначи, въпреки че в някои случаи това обяснение може да изглежда преднамерено.
Всъщност алгоритъмът за образуване на поредното число от редицата на Фибоначи изразява факта, че следствието (последното число от реда) зависи от предисторията (причините) по конкретния за тази редица начин, а именно: последното число е сума от двете предходни числа. Така този алгоритъм се включва в категорията на т. нар. рекурентни формули. Доколко с алгоритъма на 'златното сечение' могат да се обяснят природни и човешки феномени зависи именно от това, доколко тези феномени се подчиняват на горната проста и същевременно съответстваща добре на 'здравия разум' рекурентна зависимост на следствието от причините, които го пораждат. До Фибоначи основните алгоритми за описване на възпроизвеждащи формули са били аритметичната и геометричната прогресия.
Първите 100 числа на Фибоначи
[редактиране | редактиране на кода]пореден номер | число на Фибоначи
1 | 1 2 | 1 3 | 2 4 | 3 5 | 5 6 | 8 7 | 13 8 | 21 9 | 34 10 | 55 11 | 89 12 | 144 13 | 233 14 | 377 15 | 610 16 | 987 17 | 1597 18 | 2584 19 | 4181 20 | 6765 21 | 10946 22 | 17711 23 | 28657 24 | 46368 25 | 75025 26 | 121393 27 | 196418 28 | 317811 29 | 514229 30 | 832040 31 | 1346269 32 | 2178309 33 | 3524578 34 | 5702887 35 | 9227465 36 | 14930352 37 | 24157817 38 | 39088169 39 | 63245986 40 | 102334155 41 | 165580141 42 | 267914296 43 | 433494437 44 | 701408733 45 | 1134903170 46 | 1836311903 47 | 2971215073 48 | 4807526976 49 | 7778742049 50 | 12586269025 51 | 20365011074 52 | 32951280099 53 | 53316291173 54 | 86267571272 55 | 139583862445 56 | 225851433717 57 | 365435296162 58 | 591286729879 59 | 956722026041 60 | 1548008755920 61 | 2504730781961 62 | 4052739537881 63 | 6557470319842 64 | 10610209857723 65 | 17167680177565 66 | 27777890035288 67 | 44945570212853 68 | 72723460248141 69 | 117669030460994 70 | 190392490709135 71 | 308061521170129 72 | 498454011879264 73 | 806515533049393 74 | 1304969544928657 75 | 2111485077978050 76 | 3416454622906707 77 | 5527939700884757 78 | 8944394323791464 79 | 14472334024676221 80 | 23416728348467685 81 | 37889062373143906 82 | 61305790721611591 83 | 99194853094755497 84 | 160500643816367088 85 | 259695496911122585 86 | 420196140727489673 87 | 679891637638612258 88 | 1100087778366101931 89 | 1779979416004714189 90 | 2880067194370816120 91 | 4660046610375530309 92 | 7540113804746346429 93 | 12200160415121876738 94 | 19740274219868223167 95 | 31940434634990099805 96 | 51680708854858323072 97 | 83621143489848422977 98 | 135301852344706746049 99 | 218922995834555169026 100 | 354224848179261915075
Външни препратки
[редактиране | редактиране на кода]Сайт с информация за числото Фи ((en))
Категория:Числови редици