Ero sivun ”Fibonaccin lukujono” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Kuvatekstiä. |
→Tribonaccin luvut: puuttuva sana |
||
| Rivi 25: | Rivi 25: | ||
Tribonaccin lukuja seuraavat korkeamman asteen lukujonot ovat "tetranacci", "pentanacci", "heksanacci", "heptanacci", "octanacci" ja "enneanacci". Näissä lasketaan neljä, viisi, kuusi, seitsemän, kahdeksan tai yhdeksän perättäistä lukua yhteen.<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html| Nimeke = "Fibonacci n-Step Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource| Tekijä =Noe, Tony; Piezas, Tito III; ja Weisstein, Eric W. | Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 24.10.2014 }}</ref> |
Tribonaccin lukuja seuraavat korkeamman asteen lukujonot ovat "tetranacci", "pentanacci", "heksanacci", "heptanacci", "octanacci" ja "enneanacci". Näissä lasketaan neljä, viisi, kuusi, seitsemän, kahdeksan tai yhdeksän perättäistä lukua yhteen.<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html| Nimeke = "Fibonacci n-Step Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource| Tekijä =Noe, Tony; Piezas, Tito III; ja Weisstein, Eric W. | Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 24.10.2014 }}</ref> |
||
Tetranaccin ensimmäiset luvut ovat 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208 ja 401.<ref> |
Tetranaccin ensimmäiset luvut ovat 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208 ja 401.<ref>{{OEIS|A000078}}</ref> |
||
3-Fibonaccin lukujonon ensimmäiset luvut ovat 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927 |
3-Fibonaccin lukujonon ensimmäiset luvut ovat 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927 ja 12 970.<ref>{{OEIS|A006190}}</ref> |
||
Yleinen [[kaava]], josta voidaan selvittää mikä hyvänsä luku, jossa on laskettu yhteen [[n]] peräkkäistä lukua on |
Yleinen [[kaava]], josta voidaan selvittää mikä hyvänsä luku, jossa on laskettu yhteen ''[[luonnollinen luku|n]]'' peräkkäistä lukua, on |
||
<math>F(n)=\frac{\alpha^{n+1}}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)}+\frac{\beta^{n+1}}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)}+\frac{\gamma^{n+1}}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}</math>, missä <math>\alpha,\beta</math> ja <math>\gamma</math> ovat polynomin <math>P(x)=x^{3}-x^{2}-x-1</math>.<ref name="Tribo"></ref> |
<math>F(n)=\frac{\alpha^{n+1}}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)}+\frac{\beta^{n+1}}{(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)}+\frac{\gamma^{n+1}}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}</math>, missä <math>\alpha,\beta</math> ja <math>\gamma</math> ovat polynomin <math>P(x)=x^{3}-x^{2}-x-1</math> juuret.<ref name="Tribo"></ref> |
||
== Historiaa == |
== Historiaa == |
||
Versio 23. lokakuuta 2023 kello 06.53
Fibonaccin lukujono määritellään rekursiivisesti seuraavasti:[1]
Toisin sanoen Fibonaccin lukujonon ajatuksena on laskea yhteen kaksi edellistä lukua, ja näin saada seuraavan luvun arvo. Fibonaccin lukujonon ensimmäiset yksitoista lukua järjestyksessä ovat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Joskus on myös tapana määritellä Fibonaccin lukujonon alkavan ykkösestä eikä nollasta.
Fibonaccin jono on kiinnostava, koska sen kahden perättäisen luvun suhde lähestyy kultaista leikkausta. Koska Fibonacci-tyyppisesti eteneviä korkoa korolle -summautuvia prosesseja löytyy paljon biologisesta luonnosta, löytyy sieltä myös paljon kultaista leikkausta vastaavia suhteita. Monissa kukissa terälehtien määrä vastaa jotakin Fibonaccin lukujonon lukua, kuten päivänkakkarassa 34.
Analyyttinen muoto
Fibonaccin lukujono voidaan esittää myös analyyttisessä muodossa. Fibonaccin lukujonon yleisen termin lauseke on
- , jossa on kultainen leikkaus , eli kaavaan sijoitettuna:
- .[2]
Tribonaccin luvut
Fibonaccin luvuista väännettyä muotoa, jossa lasketaan kahden sijaan yhteen kolme perättäistä lukua, kutsutaan "Tribonaccin luvuiksi". Sen ensimmäiset luvut ovat 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81 ja 149.[3]
Tribonaccin lukuja seuraavat korkeamman asteen lukujonot ovat "tetranacci", "pentanacci", "heksanacci", "heptanacci", "octanacci" ja "enneanacci". Näissä lasketaan neljä, viisi, kuusi, seitsemän, kahdeksan tai yhdeksän perättäistä lukua yhteen.[4]
Tetranaccin ensimmäiset luvut ovat 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208 ja 401.[5]
3-Fibonaccin lukujonon ensimmäiset luvut ovat 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927 ja 12 970.[6]
Yleinen kaava, josta voidaan selvittää mikä hyvänsä luku, jossa on laskettu yhteen n peräkkäistä lukua, on
, missä ja ovat polynomin juuret.[3]
Historiaa
Fibonacci julkaisi lukujonon idean teoksessaan Liber abaci vuonna 1202. Hän esitteli nimellään kulkevien lukujen syntymekanismia kertoen maatilan pihalla kasvatettavien kanien lisääntymistä. Ensin oli kanipari. Se tuli sukukypsäksi ja sai kaksi poikasta. Seuraavassa vaiheessa kanipari sai uudelleen kaksi poikasta ja edelliset vain varttuivat sukukypsiksi. Sitten, kun ensimmäinen pari sai kolmannet poikasensa, saivat ensimmäiset poikaset poikasparin, ja toinen poikue varttui sukukypsäksi. Näin jatkuen kanit lisääntyivät varsin rivakasti.
Katso myös
Lähteet
- ↑ Fibonacci Number from Wolfram MathWorld mathworld.wolfram.com. Viitattu 3.9.2014.
- ↑ Agarwal, R. P.: ”Luku 1: Johdanto”, Difference Equations and inequations: Theory, Methods, and Applications, s. 38. Toinen tarkastettu ja laajennettu painos. Marcel Dekker, 2000.
- ↑ a b Noe, Tony; Piezas, Tito III; ja Weisstein, Eric W.: "Tribonacci Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 24.10.2014.
- ↑ Noe, Tony; Piezas, Tito III; ja Weisstein, Eric W.: "Fibonacci n-Step Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 24.10.2014.
- ↑ A000078 OEIS-tietokannassa
- ↑ A006190 OEIS-tietokannassa
Aiheesta muualla
- Fibonaccin lukujono OEIS-tietokannassa