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Vale il seguente teorema: "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.
In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base.
Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme .
Quindi il triangolo è isoscele sulla base . In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse .
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.
Dati i due punti:
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo e poi .
Quindi troviamo , che avrà la stessa ascissa di e diversa ordinata.
Verifichiamo che il triangolo è isoscele:
Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:
Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.
Dimostrazione.
Date le tre rette
ne calcoliamo l'intersezione.
Ora calcoliamo la distanza dei segmenti e .
Quindi il triangolo è isoscele sulla base . In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse .
Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Dati i due punti:
poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo e poi .
Quindi troviamo , che si trova sulla retta di equazione perpendicolare alla base e passante per .