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Revisão das 17h39min de 30 de agosto de 2013

Geometria diferencial é o estudo da geometria usando o cálculo. Esses campos são adjacentes, e têm muitas aplicações em física, notavelmente na teoria da relatividade, e também em cartografia.

História

A geometria diferencial, originada da junção do cálculo com a geometria, nasceu, de certo modo, como uma ciência aplicada, principalmente em questões originadas da cartografia, de onde herdou parte de sua terminologia inicial. Posteriormente passou a ser de grande utilidade na astronomia e na engenharia. Embora o cálculo fosse suficiente para o entendimento e a aplicação das leis de Newton, não o foi para a teoria da relatividade que nasceu sobre os alicerces do conhecimento estabelecido pela geometria diferencial. A interação entre a geometria diferencial e a análise tem sido fator de desenvolvimento de ambas as disciplinas. No espírito da geometria analítica de Descartes, questões profundas de análise têm sido resolvidas através da geometria e vice-versa. Todo um capítulo, extremamente atual e de grande potencial para aplicações, das equações diferenciais parciais não-lineares, foi desenvolvido sob a inspiração de questões geométricas. A computação gráfica esta começando a demonstrar que a geometria diferencial estará proximamente presente e acessível para um público bem mais amplo, quer na área científica, quer na área empresarial, fornecendo a interface gráfica adequada à apresentação de resultados, ao desenvolvimento de novas tecnologias e ao planejamento de novos produtos.

Intrínseco versus extrínseco

Inicialmente e até a metade do século XIX, a geometria diferencial era vista de uma maneria extrínseca: curvas, superfícies eram consideradas dentro de um espaço euclidiano de dimensão maior (um plano em um espaço tridimensional, por exemplo). Começando com o trabalho de Riemann, a maneira intrínseca de se tratar a geometria foi desenvolvida, na qual não se pode sair do objeto geométrico.

A forma intrínseca é mais flexível, por exemplo na relatividade onde o espaço-tempo não podem ser naturalmente tratados extrinsecamente. É mais difícil de se definir curvatura do ponto de vista intrínseco, e outras estruturas como conexão, então há um preço a ser pago.

Essas duas maneiras diferentes de tratamento podem ser conciliadas, por exemplo a geometria extrínseca pode ser considerada como uma estrutura adicional à intrínseca.

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-'''Geometria diferencial''' é o estudo da [[geometria]] usando o [[cálculo]].  Esses campos são adjacentes, e têm muitas aplicações em [[física]], notavelmente na [[teoria da relatividade]], e também em [[cartografia]].
+'''Geometria diferencial''' é o estudo da [[geometria]] usando o [[cálculo]]. Esses campos são adjacentes, e têm muitas aplicações em [[física]], notavelmente na [[teoria da relatividade]], e também em [[cartografia]].
 == História ==
-A Geometria Diferencial, originada da junção do Cálculo com a Geometria, nasceu, de certo modo, como uma ciência aplicada, principalmente em questões originadas da [[cartografia]], de onde herdou parte de sua terminologia inicial. Posteriormente passou a ser de grande utilidade na [[Astronomia]] e na [[Engenharia]]. Embora o Cálculo fosse suficiente para o entendimento e a aplicação das [[leis de Newton]], não o foi para a [[Teoria da Relatividade]] que nasceu sobre os alicerces do conhecimento estabelecido pela Geometria Diferencial. A interação entre a Geometria Diferencial e a Análise tem sido fator de desenvolvimento de ambas as disciplinas. No espírito da [[Geometria analítica|Geometria Analítica]] de [[Descartes]], questões profundas de Análise têm sido resolvidas através da Geometria e vice-versa. Todo um capítulo, extremamente atual e de grande potencial para aplicações, das equações diferenciais parciais não-lineares, foi desenvolvido sob a inspiração de questões geométricas. A computação gráfica esta começando a demonstrar que a Geometria Diferencial estará proximamente presente e acessível para um público bem mais amplo, quer na área científica, quer na área empresarial, fornecendo a interface gráfica adequada à apresentação de resultados, ao desenvolvimento de novas tecnologias e ao planejamento de novos produtos.
+A geometria diferencial, originada da junção do cálculo com a geometria, nasceu, de certo modo, como uma [[ciência]] aplicada, principalmente em questões originadas da [[cartografia]], de onde herdou parte de sua terminologia inicial. Posteriormente passou a ser de grande utilidade na [[astronomia]] e na [[engenharia]]. Embora o cálculo fosse suficiente para o entendimento e a aplicação das [[leis de Newton]], não o foi para a [[teoria da relatividade]] que nasceu sobre os alicerces do conhecimento estabelecido pela geometria diferencial. A interação entre a geometria diferencial e a [[análise matemática|análise]] tem sido fator de desenvolvimento de ambas as disciplinas. No espírito da [[Geometria analítica|geometria analítica]] de [[Descartes]], questões profundas de análise têm sido resolvidas através da geometria e vice-versa. Todo um capítulo, extremamente atual e de grande potencial para aplicações, das [[equações diferenciais parciais]] não-lineares, foi desenvolvido sob a inspiração de questões geométricas. A [[computação gráfica]] esta começando a demonstrar que a geometria diferencial estará proximamente presente e acessível para um público bem mais amplo, quer na área científica, quer na área [[empresa]]rial, fornecendo a interface gráfica adequada à apresentação de resultados, ao desenvolvimento de novas [[tecnologia]]s e ao [[planejamento]] de novos [[produto]]s.
 == Intrínseco versus extrínseco ==
-Inicialmente e até a metade do [[século XIX]], a geometria diferencial era vista de uma maneria ''extrínseca'': [[curva]]s, [[superfície]]s eram consideradas dentro de um [[espaço euclidiano]] de [[dimensão_(matemática)|dimensão]] maior (um plano em um espaço tridimensional, por exemplo). Começando com o trabalho de [[Bernhard Riemann|Riemann]], a maneira ''intrínseca'' de se tratar a geometria foi desenvolvida, na qual não se pode ''sair'' do objeto geométrico.
+Inicialmente e até a metade do [[século XIX]], a geometria diferencial era vista de uma maneria ''extrínseca'': [[curva]]s, [[superfície]]s eram consideradas dentro de um [[espaço euclidiano]] de [[dimensão (matemática)|dimensão]] maior (um plano em um espaço tridimensional, por exemplo). Começando com o trabalho de [[Bernhard Riemann|Riemann]], a maneira ''intrínseca'' de se tratar a geometria foi desenvolvida, na qual não se pode ''sair'' do objeto geométrico.
-A forma intrínseca é mais flexível, por exemplo na relatividade onde o [[espaço-tempo]] não podem ser naturalmente tratados extrinsecamente. É mais difícil de se definir [[curvatura]] do ponto de vista intrínseco, e outras estruturas como conexão, então há um preço a ser pago.
+A forma intrínseca é mais flexível, por exemplo na relatividade onde o [[espaço-tempo]] não podem ser naturalmente tratados extrinsecamente. É mais difícil de se definir [[curvatura]] do ponto de vista intrínseco, e outras estruturas como [[conexão (geometria)|conexão]], então há um preço a ser pago.
 Essas duas maneiras diferentes de tratamento podem ser conciliadas, por exemplo a geometria extrínseca pode ser considerada como uma estrutura adicional à intrínseca.