Кубичен корен
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Cube-root_function.svg/288px-Cube-root_function.svg.png)
В математиката, кубичен корен от число x е такова число a, че a3 = x. Всички реални числа (освен нула) имат точно един реален кубичен корен и два комплексно спрегнати кубични корена. Всички ненулеви комплексни числа имат три различни комплексни кубични корена. Например реалният кубичен корен на 3√8 е 2, защото 23 = 8, докато другите кубични корени на 8 са −1 + √3i и −1 − √3i.
Операцията за кубичен корен не е асоциативна или дистрибутивна при събиране и изваждане. Все пак, тя е асоциативна при степенуване и дистрибутивна при умножение и деление, ако се взимат предвид само реални числа, но не винаги, ако се взимат предвид комплексни числа: например, кубът на всеки кубичен корен от 8 е 8, но трите кубични корена на 83 са 8, −4 + 4i√3 и −4 − 4i√3.
История
[редактиране | редактиране на кода]Изчисляването на кубичния корен може да бъде проследено до вавилонските математици от 1800 г. пр. Хр.[1] През IV век пр. Хр. Платон поставя проблема за удвояването на куба, който изисква построения с линийка и пергел на ръба на куб с двойно по-голям обем от даден куб. Това изисква построяването на невъзможната дължина 3√2.
Метод за намиране на кубични корени присъства в „Математика в девет книги“, китайски математически текст съставен около II век пр. Хр.[2] Гръцкият математик Херон измисля метод за изчисляване на кубични корени през I век сл. Хр.[3] През 499 г. Ариабхата, математик и астроном от класическата ера на индийската математика, дава метод за намиране на кубичния корен на числа с много цифри в Ариабхатия.[4]
Формално определение
[редактиране | редактиране на кода]Кубичните корени на число x са числата y, които удовлетворяват равенството
Реални числа
[редактиране | редактиране на кода]За всяко реално число y, съществува едно реално число x такова, че x3 = y. Кубичната функция е нарастваща, така че не дава същия резултат за две различни числа, а и покрива всички реални числа. С други думи, тя е биекция. Следователно, може да се определи обратна функция. При реалните числа, може да се определи един-единствен кубичен корен за всички реални числа. Ако се използва това определение, кубичният корен на отрицателно число е отрицателно число.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/3rd_roots_of_unity.svg/220px-3rd_roots_of_unity.svg.png)
Ако x и y са комплексни, то тогава съществуват три решения (ако x не е нула) и така x има три кубични корена. Реалното число има един реален кубичен корен и два допълнителни кубични корена, образуващи комплексно спрегната двойка.
Например, кубичните корени на числото 1 са:
Последните два от тези корени водят до връзка между всички корени на кое да е реално или комплексно число.
Комплексни числа
[редактиране | редактиране на кода]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Riemann_surface_cube_root.svg/200px-Riemann_surface_cube_root.svg.png)
За комплексни числа, главният кубичен корен обикновено се определя като кубичния корен с най-голяма реална част или чийто аргумент има най-малка абсолютна стойност. Той е свързан с главната стойност на естествения логаритъм чрез формулата
Ако се напише x като
където r е неотрицателно реално число и θ лежи в тази област
- ,
то главният комплексен кубичен корен е
Това означава, че в полярни координати се взема кубичния корен на радиуса и полярният ъгъл се дели на три за да се определи кубичния корен. По тази дефиниция, главният кубичен корен на отрицателно число е комплексно число и, например, 3√−8 няма да е −2, а 1 + i√3.
Това ограничение лесно може да бъде избегнато, ако се напише първоначалното комплексно число x в три еквивалентни форми или по-конкретно
Главните комплексни кубични корени на тези три форми са съответно
Освен при x = 0, тези три комплексни числа са различни, въпреки че трите образа на x са еднакви. Например, 3√−8 може да бъде изчислено като −2, 1 + i√3, или 1 − i√3.
Вижте също
[редактиране | редактиране на кода]Източници
[редактиране | редактиране на кода]- ↑ Saggs, H. W. F. Civilization Before Greece and Rome. Yale University Press, 1989. ISBN 978-0-300-05031-8. с. 227.
- ↑ Crossley, John, W.-C. Lun, Anthony. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999. ISBN 978-0-19-853936-0. с. 213.
- ↑ Smyly, J. Gilbart. Heron's Formula for Cube Root // Hermathena 19 (42). Trinity College Dublin, 1920. с. 64 – 67.
- ↑ Aryabhatiya Архив на оригинала от 2011-08-15 в archive.today на маратхийски: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.62, ISBN 978-81-7434-480-9
![]() ![]() |
Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Cube root в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.
ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни. |