Teoria de categories

La teoria de categories és una branca de la matemàtica que estudia de manera abstracta les estructures matemàtiques i llurs relacions. Les categories avui dia s'usen com a noció unificadora en la major part de les branques de la matemàtica i en algunes àrees de les ciències de la computació i física teòrica. Foren proposades per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane en el període 1942-1945, en connexió amb la topologia algebraica.

Definició de categoria

${\mathcal {A}}$ és una categoria si té:

1. una classe d'objectes de ${\mathcal {A}}$, anomenat ${Ob(}{\mathcal {A}})$.
2. per tot ${A,B}\in {Ob(}{\mathcal {A}}{)}$, un conjunt de morfismes de $A$ en $B$, anomenat $Mor_{\mathcal {A}}(A,B)$. Els seus elements ${f}\in {Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$ s'escriuen com ${f:A}\rightarrow B$
3. per tot ${A,B,C,D}\in Ob({\mathcal {A}})$, i per tot ${f}\in {Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$, ${g}\in {Mor_{\mathcal {A}}(B,C)}$ es compleixen les següents propietats:
   1. existeix ${h}\in {Mor(A,C)}$ tal que $h=gf:=g{\circ {}}_{\mathcal {A}}\;f$, és a dir, tenim l'aplicació

      ${\begin{matrix}{Mor(B,C)\times {}Mor(A,B)}&\longrightarrow {}&{Mor(A,C)}\\{(g,f)}&\mapsto &{gf}\end{matrix}}$

   2. propietat associativa en la composició, és a dir $k(gf)=(kg)f$, per tot $k\in {Mor_{\mathcal {A}}(C,D)}$.
   3. existència del morfisme identitat $I_{B}^{\mathcal {A}}\in Mor_{\mathcal {A}}(B,B)$ tal que $I_{B}^{\mathcal {A}}f=f$ i $gI_{B}^{\mathcal {A}}=g$.

Aplicacions

Un dels àmbits d'aplicació és al llenguatge de programació Haskell amb la categoria Hask on els objectes són els tipus i els morfismes són les funcions.

Vegeu també

• Categoria (matemàtiques)
• Functor: correspondència entre categories.