Analýza hlavních komponent
Analýza hlavních komponent (Principal Component Analysis, PCA) je v teorii signálu transformace sloužící k dekorelaci dat. Často se používá ke snížení dimenze dat s co nejmenší ztrátou informace.[1] PCA je možno najít také jako Karhunen-Loèveho transformaci, Hotellingovu transformaci, nebo jako singulární rozklad (SVD; v lineární algebře).
Z následujícího vzorce je vidět, že PCA je jen přepsáním vstupu do jiné souřadné soustavy:
kde X je centrovaná matice n x d se vstupními d-rozměrnými daty v n řádcích, Y obdobná matice výstupních dat, P je d x d matice vlastních vektorů kovarianční matice splňující vztah , kde je diagonální matice obsahující na diagonále vlastní čísla a matice vlastních vektorů je ortonormální, tj. , kde je jednotková matice dimenze .
Vlastní vektory (sloupce matice P) tvoří onu novou souřadnou soustavu. Centrování matice X dosáhneme odečtením příslušného výběrového průměru od každého sloupce.
Odvození
[editovat | editovat zdroj]Matice Y je zřejmě také centrovaná, tj. aritmetický průměr každého jejího sloupce je 0.[2]
Spočítáme, jak musí vypadat kovarianční matice nových dat Y:
Vzhledem k tomu, že matice je diagonální,
vidíme, že sloupce matice Y jsou nekorelované a výběrový rozptyl každého sloupce se rovná příslušnému vlastnímu číslu.
Použití
[editovat | editovat zdroj]Seřadíme-li vlastní vektory v P podle velikosti vlastních čísel , budeme dostávat složky v Y setříděné podle rozptylu. Pokud chceme snížit dimenzi dat, stačí z Y vzít jen tolik prvních složek kolik uznáme za vhodné. Vybírání komponenty s největším rozptylem nemusí být vždy nejlepší. Například pokud máme rozpoznávat třídy, které se liší právě ve složkách s malým rozptylem, které tímto postupem zahodíme.
Rozpoznávání
[editovat | editovat zdroj]V rozpoznávání slouží PCA jako jedna z tzv. Feature Extraction metod (extrakce rysů). Používají ji například kriminalisté pro rozpoznávání obličejů.
Komprese
[editovat | editovat zdroj]Jednoduchá komprese barevného nebo multispektrálního obrazu. Využívá vysoké korelace mezi jednotlivými spektrálními kanály a převede obrázek pomocí PCA na jednu nebo několik málo složek s většinou informace.
Odkazy
[editovat | editovat zdroj]Související články
[editovat | editovat zdroj]Reference
[editovat | editovat zdroj]- ↑ Martin Sebera - FSpS MU - Vícerozměrné statistické metody. www.fsps.muni.cz [online]. [cit. 2022-01-17]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2022-03-02.
- ↑ Archivovaná kopie. k101.unob.cz [online]. [cit. 2022-01-17]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2022-01-18.
- ↑ dimensionality reduction - Relationship between SVD and PCA. How to use SVD to perform PCA?. Cross Validated [online]. [cit. 2022-01-17]. Dostupné online.
Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu analýza hlavních komponent na Wikimedia Commons
- http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf — jednoduché vysvětlení PCA spolu s matematickým základem
- https://web.archive.org/web/20040809034742/http://robotics.eecs.berkeley.edu/~rvidal/cvpr03-gpca-final.pdf — vysvětlení pokročilejší zobecněné PCA
- Příklady využití analýzy hlavních komponent na zřetelnější zobrazení struktur u grafických souborů (anglicky)