Kužel
Kužel je trojrozměrný geometrický tvar ohraničený kuželovou plochou a rovinou, která protíná kuželovou plochu tak, že vytváří uzavřenou křivku.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Kuzelovy_prostor.svg/180px-Kuzelovy_prostor.svg.png)
Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava kužele. Plášť kužele a podstava tvoří povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi rovinou podstavy a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.
Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Jestliže kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, jde o rotační kužel nebo také kolmý kruhový kužel, v opačném případě jde o kosý kužel.
Základní pojmy
[editovat | editovat zdroj]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Kuzel_obecny.svg/180px-Kuzel_obecny.svg.png)
Kuželový prostor a kuželová plocha
[editovat | editovat zdroj]Definice: Je dána jednoduchá uzavřená křivka , která leží v rovině a bod V, který v dané rovině neleží. Množina všech přímek, které procházejí daným bodem V a křivkou tvoří kuželovou plochu, která ohraničuje kuželový prostor. Kuželový prostor zahrnuje kromě kuželové plochy i všechny přímky, které protínají rovinu uvnitř křivky .
Křivka se nazývá řídicí křivkou kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Bod V se nazývá vrchol kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Přímky spojující řídicí křivku s vrcholem se nazývají povrchové přímky (površky).
Přímky kuželového prostoru, které nejsou povrchovými přímkami se nazývají vnitřní přímky kuželového prostoru a body na nich se nazývají vnitřní body kuželového prostoru, vrchol V nepatří mezi vnitřní body kuželového prostoru. [1][2]
Kruhový kužel
[editovat | editovat zdroj]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Rota%C4%8Dn%C3%AD_ku%C5%BEelov%C3%A1_plocha1.png/228px-Rota%C4%8Dn%C3%AD_ku%C5%BEelov%C3%A1_plocha1.png)
Je-li řídicí křivka kružnice, pak kruh omezený touto kružnicí je podstavou kruhového kužele. Kruhový kužel je těleso tvořené částí kuželového prostoru mezi rovinou a bodem V. Rovina je rovina podstavy kužele. Kružnice tvoří podstavnou hranu a bod V je vrchol kužele.[3]
Rotační kuželová plocha
[editovat | editovat zdroj]Rotací přímky , kolem přímky , pro kterou platí vznikne rotační kuželová plocha.
Přímka je osa kuželové plochy. Každé přímce , ležící na kuželové ploše se říká povrchová přímka (površka) kuželové plochy.
Jiná formulace: Rotační kuželová plocha je množina všech přímek prostoru, které procházejí průsečíkem přímek a dané přímky , přičemž odchylka těchto přímek a přímky je pro všechny přímky stejná .[4]
Přímka a rovina, procházející vrcholem kuželové plochy se nazývá vrcholová přímka a vrcholová rovina. Každé povrchové přímky kuželové plochy se dotýká právě jedna tečná rovina.
Rotační kužel
[editovat | editovat zdroj]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Cone_revolution.gif/134px-Cone_revolution.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cone_3d.png/240px-Cone_3d.png)
Rotační kužel je těleso vzniklé rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky , na které leží jedna jeho odvěsna nebo rotací rovnoramenného trojúhelníku kolem jeho výšky na základnu.
- Přímka je osa kužele,
- bod přepony, který leží na ose se nazývá vrchol kužele,
- podstavu kužele tvoří kruh, který je vytvořen rotací odvěsny kolmé k ose ,
- poloměr (průměr) rotačního kužele je poloměr (průměr) podstavy,
- výška rotačního kužele je (kolmá) vzdálenost vrcholu kužele od roviny podstavy, je rovna délce odvěsny, která leží na ose .
Výpočty
[editovat | editovat zdroj]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/V%C3%BDpo%C4%8Dty_ku%C5%BEel.png/290px-V%C3%BDpo%C4%8Dty_ku%C5%BEel.png)
Značení kužele
poloměr podstavy | |
výška kužele (také někdy ) | |
délka strany (površky) kužele | |
obsah podstavy kužele | |
obsah pláště kužele | |
povrch rotačního kužele | |
objem rotačního kužele |
Objem rotačního kužele
[editovat | editovat zdroj]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Zobrazen%C3%AD_ku%C5%BEelu_v_sou%C5%99adn%C3%A9m_syst%C3%A9mu.png/220px-Zobrazen%C3%AD_ku%C5%BEelu_v_sou%C5%99adn%C3%A9m_syst%C3%A9mu.png)
Odvození výpočtu: podstava rotačního kužele je kruh se středem a poloměrem . Výška rotačního kužele je kolmá na rovinu podstavy a platí .
V kartézské soustavě souřadnic () lze určit rovnici přímky ,na které leží površka a jejíž rotací kolem osy vznikl rotační kužel. Přímka prochází počátkem . Její rovnici lze tedy zapsat ve tvaru , kde je směrnice přímky, pro kterou platí . Přímka prochází bodem , tedy platí .
Rovnici přímky lze tedy zapsat
Je třeba vzít v úvahu, že kolem osy rotuje pouze část přímky , tj. úsečka, jejímž kolmým průmětem do osy je interval . Potom lze spočítat objem rotačního kužele:[5]
Povrh rotačního kužele
[editovat | editovat zdroj]Povrch rotačního kužele vznikne součtem obsahu podstavy () a obsahu pláště . Obsah podstavy je obsah kruhu. Odvodit stačí vzorec pro výpočet obsahu pláště, tedy .
Postup:
První derivace rovnice přímky :
S využitím Pythagorovy věty lze spočítat a dále
Vlastnosti rotačního kužele
[editovat | editovat zdroj]- Není středově souměrný.
- Je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
- Je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).
- V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. Lze porovnat vzorce pro výpočet objemu jehlanu a objemu kužele.
Kuželosečky
[editovat | editovat zdroj]Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.
Singulární řezy kužele – rovina řezu prochází vrcholem kužele (= vrcholová rovina), mohou nastat tři případy:
- průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)
Regulární řezy kužele – pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:
- průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele (obr. B dole)
- průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele (obr. B nahoře)
- průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (obr. A)
- průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) (obr. C)
Rovnice
[editovat | editovat zdroj]Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině prochází elipsou (tzv. řídicí křivka) je popsána rovnicí
Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.
Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů
Pro jde o rotační kužel s osou rotace .
Kuželovou plochu s vrcholem v bodě je vždy možné vyjádřit rovnicí
Reference
[editovat | editovat zdroj]- ↑ MORÁVKOVÁ, Blanka. Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě. , 2006 [cit. 2023-04-20]. . Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. . Dostupné online.
- ↑ HRUŠA, Karel; KRAEMER, Emil; SEDLÁČEK, Jiří; VYŠÍN, Jan; ZELENKA, Rudolf. Přehled elementární matematiky. třetí revidované. vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1962.
- ↑ DLOUHÁ, Michaela. Úlohy o objemu a povrchu těles v trojrozměrném prostoru [online]. Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky a didaktiky matematiky, 2012 [cit. 2023-04-20]. Bakalářská práce. Dostupné online.
- ↑ POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia. Stereometrie. 3., upr. vyd. vyd. Praha: Prometheus 223 s. s. Dostupné online. ISBN 80-7196-178-7.
- ↑ KRÁLOVÁ, Alice. Odvození vzorců pro výpočet objemů a povrchů některých těles užitím integrálního počtu [online]. Studijní text. Mendelova univerzita v Brně, Lesnická a dřevařská fakulta [cit. 2023-04-24]. Dostupné online.
Literatura
[editovat | editovat zdroj]- Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 107-108
- Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 122-123
Související články
[editovat | editovat zdroj]- Geometrický útvar
- Kvadratická plocha
- Oblá tělesa
- Mnohostěn
- Válec
- Jehlan
- Komolý kužel
- Elipsa
- Parabola (matematika)
- Hyperbola
Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu kužel na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo kužel ve Wikislovníku