Spring til indhold

Laplacetransformation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Laplacetransformation er i matematikken en transformation af en funktion til en anden funktion ved hjælp af en operator.[1] Laplacetransformationer bruges meget i fysik og teknik til at løse differentialligninger og integralligninger.[2] Det vigtigste anvendelsesområde er løsning af lineære differentialligninger med konstante koefficienter.[3] Transformationen vil ofte reducere ligningerne til rene algebraiske problemer som kan løses med elementær regning med komplekse tal.[2]

Laplacetransformation er relateret til Fouriertransformationer, men hvor Fourier indeholder en funktion eller et signal i form af vibrationer, benytter Laplace sig af en funktion i momentet.

Laplacetransformation er opkaldt efter den franske matematiker og astronom Pierre-Simon Laplace (1749–1827), som undersøgte intergralet som bruges i laplacetransformationer første gang i 1782. Selve Laplacetransformationen blev udviklet af englænderen Oliver Heaviside (1850–1925).[4]

I 1744 fandt Leonhard Euler integraler i form af:

Den Laplace-transformerede funktion F(s) af funktionen f(t), som skal være defineret for alle reelle tal t>=0, er

hvor dette integrale er konvergent.[5][6].

Det vil sige at funktionen f(t) transformeres over i anden funktion F(s) af en ny variabel s. s er generelt et kompleks tal, men for simple anvendelser af Laplaceformationen er det ofte tilstrækkeligt kun at betragte reelle værdier af s.[7]

Operatoren L som fører en funktion over til dens Laplacetransformerede funktion, kaldes Laplacetransformationen.[7][6]

Funktioner som kan Laplacetransformeres

[redigér | rediger kildetekst]

En tilstrækkelig, men ikke nødvendig betingelse for at en funktion f(t) kan Laplace-transformeres er:

  1. f(t) skal være stykkevis kontinuert i ethvert endeligt interval i området t≥0, og
  2. f(t) skal være eksponentielt begrænset eller af eksponentiel orden, dvs. |f(t)| ≤ Meαt, hvor M og α er vilkårlige konstanter.[8][9]

De fleste funktioner af interesse kan Laplacetransformeres. Blandt undtagelserne er 1/t, 1/, 1/, ..., tan t, cot t, som ikke opfylder betingelse 1) om stykkevis kontinuitet idet de alle har lodrette asymptoter.[10]

  • Thomas Heilmann: Laplacetransformation, 2. udgave, Heilmanns Forlag 1995. ISBN 87-983513-7-0.
  • Helge Elbrønd Jensen: Matematisk analyse, bind 4, 8. udgave, Matematisk Institut, Danmarks Tekniske Højskole 1989.
  1. ^ Heilmann, side 7
  2. ^ a b Jensen, side 371
  3. ^ Heilmann, side 18
  4. ^ Heilmann, side 9
  5. ^ Jensen, side 371-372
  6. ^ a b Heilmann, side 8
  7. ^ a b Jensen, side 372
  8. ^ Heilmann, side 9-10
  9. ^ Jensen, side 374
  10. ^ Heilmann, side 10