از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
رادیکال تودرتو، رادیکال مسلسل یا رادیکال مرکب در جبر عبارت است از ریشهٔ عبارتی که در خودش یک یا چند عبارت رادیکالی دارد؛ مانند:
![{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e782b21c157af155d8fe8f0a92af00e90c55a076)
یا به صورت پیچیدهتر:
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16622bdbf373e2237bfac23a3c7cf619353e851e)
برخی رادیکالهای تو در تو را میتوان سادهتر کرد و از حالت تو در تو خارج کرد؛ مانند:
![{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ebb68659bfe33b904adef1ce2a227b41c12045)
![{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c512ca1fa964496543e900ed5a50667e76b002d6)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a0cacad52ba247ccc394608bc1d35f054ca453)
البته گاهی میتوان فرض کرد که یک رادیکال تو در تو برابر است با مجموع دو ریشه:
![{\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c225c8c02bcaae8e7f4ee6d0b5e7c6c15be939)
با به توان دو رساندن دو طرف تساوی خواهیم داشت:
![{\displaystyle a\pm b{\sqrt {c}}=d+e\pm 2{\sqrt {de}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7220705f2aa006e719f89a1dfb1be556dbb5384a)
اگر فرض کنیم:
![{\displaystyle a=d+e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ff80ae6bc55fa4aed47e085ec225d159401912)
آنگاه داریم:
![{\displaystyle d=a-e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035f70885cf18da698c71047fc39133fe95266f0)
![{\displaystyle e=a-d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853c2ae99d6c47fdcec2e2ce366884b2d1f33375)
و
![{\displaystyle b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d48387b90b16e2d6c8939bf4c0651326949367)
با بتوان دو رساندن دو طرف داریم:
![{\displaystyle b^{2}c=4de.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6433ded052ee9541b63adc29f6a106e672b7b0)
حال e را جایگزین میکنیم:
![{\displaystyle b^{2}c=4(a-d)d=4ad-4d^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ee88ab1d836ad7f81fc8abed8f8c7ef9588d11)
حال عبارت به صورت یک اتحاد درآمد پس خواهیم داشت:
![{\displaystyle 4d^{2}-4ad+b^{2}c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85780a4774c40814d5bbd03c0453f5ca51932160)
![{\displaystyle d={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d25423d284bf52918cb7511510f35b8da51c55)
از آنجایی که a = d+e است پس d و e خواهند بود:
![{\displaystyle d={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d157e90152e147cde53cda1ad77a1ab125db3c2)
و
![{\displaystyle e={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589c020b99a273b57f8329b285b81d9dc5bf7bb7)
روشی که در بالا گفته شد تنها در حالات خاصی که
حاصل گویا داشته باشد درست است.
برخی از اتحادهای رامانوجان
[ویرایش]
سرینیواسا رامانوجان، ریاضیدان مشهور هندی، تعدادی از اتحادهای جالب شامل رادیکال های مرکب را اثبات کرد. از جمله:
و
{{
کسر مسلسل
ویکی انگلیسی