Analyse Mathématique pour l'ingénieur: Analyse Mathématique pour l'ingénieur, #2
Par bekkai Messirdi
()
À propos de ce livre électronique
Des équations aux dérivées partielles à l'examen des algorithme aléatoires en touriste par la transformation de Fourier, cet tout réelle globaux les outils mathématiques utiles à l'étudiant ingénieur. Des conseils et des explication précisent le champ d'manipulation d'une formule.
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Analyse Mathématique pour l'ingénieur - bekkai Messirdi
Semestre pair
Analyse Mathématique pour l'Ingénieur
Cours et Exercices Corrigés
Sujets du DS2 et ES2 avec corrigés et barèmes détaillés
- Séries de Fourier
- Transformation de Fourier
- Equations aux Dérivées Partielles (EDP)
––––––––
Professeur Bekkai MKSSFRDF
Semestre pair
Analyse Mathématique pour l'Ingénieur
Cours et Exercices Corrigés
Editions Al-Djazair
Table des mati`eres
I Semestre pair 5
1 S´eries de Fourier 7
1.1 S´eries trigonom´etriques .............................................7
1.1.1 Fonctions p´eriodiques et s´eries trigonom´etriques ..............7
1.1.2 Convergence des s´eries trigonom´etriques ...................8
1.1.3 Repr´esentation complexe d’une s´erie trigonom´etrique ..........9
1.1.4 Calcul des coefficients de la s´erie trigonom´etrique .............10
1.2 S´eries de Fourier ....................................................11
1.2.1 Coefficients de Fourier d’une fonction paire ou impaire...........12
1.2.2 Convergence des s´eries de Fourier, et Th´eor`eme de Dirichlet ...14
1.3 D´eveloppement en s´erie de Fourier de fonctions non p´eriodiques ........18
1.4 Formule de Parseval.................................................21
1.5 Applications........................................................24
1.5.1 Solutions p´eriodiques d’´equations diff´erentielles ..............24
1.5.2 Probl`eme de Strum-Liouville ..............................26
1.6 Exercices Corrig´es sur les s´eries de Fourier .....................29
2 Transformation de Fourier 47
2.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es ...................................47
2.1.1 D´efinitions ...........................................47
2.1.2 Propri´et´es ...........................................49
2.2 Formules utiles......................................................50
2.2.1 Transform´ee de Fourier de la d´eriv´ee ......................50
2.2.2 D´erivation de la transform´ee de Fourier F [f ] (ξ) par rapport `a ξ ...51
2.2.3 Transformation de Fourier sinus et cosinus...................51
2.2.4 Produit de convolution et transformation de Fourier.............52
2.3 Transform´ee de Fourier inverse .......................................56
2.3.1 Quelques propri´et´es utiles ...............................58
2.4 Applications........................................................58
2.4.1 Calcul des int´egrales ...................................58
2.4.2 R´esolution d’une ´equation int´egrale .......................58
2.4.3 R´esolution d’une ´equation diff´erentielle .....................59
2.4.4 R´esolution de probl`emes aux limites .......................60
2.5 Exercices Corrig´es sur les s´eries de Fourier .....................61
3
4 TABLE DES MATIE`RES
3 Equations aux D´eriv´ees Partielles (EDP) 75
3.1 G´en´eralit´es sur les EDP ............................................76
3.2 Int´egration des EDP lin´eaires d’ordre 1 homog`enes a` deux et a` trois va- riables ind´ependantes 77
3.2.1 Int´egration de l’EDP (E2) ................................77
3.2.2 Int´egration de l’EDP (E3) ................................78
3.3 Int´egration des EDP quasi-lin´eaires d’ordre 1 non homog`enes `a deux va- riables ind´ependantes 78
3.4 Classification des EDP du second ordre a` deux variables ind´ependantes ..80
3.5 R´esolution de certaines EDP classiques ...............................87
3.5.1 Equation des ondes (cas hyperbolique)......................88
3.5.2 Equation de Laplace (cas elliptique).........................92
3.5.3 Equation de la chaleur (cas parabolique).....................98
3.6 Exercices Corrig´es sur les EDP .................................102
4 Annexe 119
4.1 Sujets du DS2 et ES2 avec corrig´es et bar`emes d´etaill´es .....119
Bibliographie 132
Premi`ere partie Semestre pair
5
Chapitre 1 S´eries de Fourier
Une fonction p´eriodique f (x) de p´eriode T, peut, sous certaines conditions, ˆetre ap- proch´ee avec autant de pr´ecision qu’on le d´esire par une somme de sinus et de cosinus, de p´eriode T :
+∞ +∞
f (x) = Σ an cos nωx + bn sin nωx = a0 + Σ an cos nωx + bn sin nωx
n=0
2π
n=1
an, bn ∈ R, ∈ N, ω =
est appel´ee la pulsation.
T
Cette d´ecomposition est appel´ee une s´erie de Fourier. On ´etudie dans ce chapitre les s´eries de Fourier et le d´eveloppement des fonctions p´eriodiques en s´erie de Fourier.
Les s´eries de Fourier constituent un outil fondamental de l’analyse math´ematique, elles sont indispensables et incontournables pour l’´etude des ph´enom`enes oscillatoires (mouvement d’un camion sur un pont g´en`ere des vibrations dans toute la structure de ce dernier ; le mouvement des pistons dans le moteur met la voiture en vibration ; une onde
´electromagn´etique provoque l’oscillation des ´electrons `a la surface du m´etal,...). On ne peut pas s´erieusement ´etudier un sujet de physique sans utiliser d’une mani`ere ou d’une autre ces s´eries ou leur g´en´eralisation, les transform´ees de Fourier.
1.1 S´eries trigonom´etriques
1.1.1 Fonctions p´eriodiques et s´eries trigonom´etriques
D´efinition 1.1 Une fonction f d´efinie sur un ensemble D R est dite p´eriodique de p´eriode T R∗ ou (T-p´eriodique) si pour tout x D, on a x + T D et f (x + T ) = f (x).
Si l’ensemble des p´eriodes strictement positives de f a un plus petit ´el´ement strictement positif, soit T0 cet ´el´ement, T0 est appel´e la p´eriode fondamentale de f.
En g´en´eral, si f est T-p´eriodique, alors f est d´efinie sur R.
Exemple 1.1 1) Les fonctions f (x) = sin x et g(x) = cos x d´efinies sur R sont 2π- p´eriodiques car sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x, x R.
2) Si ω > 0, sin ωx et cos ωx sont des fonction ²π -p´eriodiques sur R car sin ω(x+ ²π ) =
ω ω
sin(ωx + 2π) = sin ωx et cos ω(x + ²π ) = cos(ωx + 2π) = cos ωx.
2) Une fonction constante sur R est p´eriodique, tout r´eel non nul en est une p´eriode.
3) La fonction f (x) = x E(x), E(x) est la partie enti`ere sur R, est p´eriodique, 1 est une p´eriode de f ainsi que tout entier non nul.
7
En effet, soit x ∈ R, alors E(x) = n si n ≤ x < n + 1. Donc n + 1 ≤ x + 1 < n + 2 et
E(x + 1) = n + 1 = E(x) + 1. On a donc f (x + 1) = x + 1 − E(x + 1) = x − E(x) = f (x),
∀x ∈ R.
Une fonction T -p´eriodique est enti`erement d´efinie par sa restriction sur un intervalle de longueur T, par exemple [0, T [, [− T , T [, [a, a + T [, ...
D´efinition 1.2 On appelle s´erie trigonom´etrique toute s´erie de fonctions de la forme :
+∞
+ an
2
n=1
––––––––
cos nωx + bn
––––––––
sin nωx
avec x R, ω > 0, an, bn R pour tout n N. Les nombres an, bn, n N, sont appel´es coefficients de cette s´erie.
La suite des sommes partielles associ´ee `a la s´erie trigonom´etrique est :
n
S (x) = ⁰ + a
n 2 k
k=1
––––––––
cos kωx + bk
––––––––
sin kωx
= a0 + a
2 1
cos ωx + b1
sin ωx + a2
cos 2ωx + b2
sin 2ωx
––––––––
Exemple 1.2 La s´erie
+... + an cos nωx + bn sin nωx.
+∞ 1
n est une s´erie trigonom´etrique avec a0 = 0, an = n
n=1
bn = 0, ∀n ∈ N∗, et ω = 1.
Remarque 1.1 Chaque fonction Sn(x) de la suite des sommes partielles (Sn(x))n N est
T-p´eriodique avec T = ²π . Donc si la s´erie trigonom´etrique converge simplement, alors
sa somme S(x) = lim
––––––––
Sn(x) =
a0 +
+Σ∞
an cos nωx + bn sin nωx est p´eriodique de p´eriode
n→+∞
2
n=1
T = 2π
sur son domaine de convergence.
Ainsi, si un s´erie trigonom´etrique de p´eriode T converge en x alors elle converge
simplement en x + kT, ∀k ∈ Z.
Le probl`eme est de d´eterminer l’ensemble D tel que la s´erie trigonom´etrique soit convergente pour tout x ∈ D.
1.1.2 Convergence des s´eries trigonom´etriques
Proposition 1.1 Si les s´eries num´eriques
+∞
n=1
an et
+∞
n=1
bn sont absolument convergentes,
alors la s´erie trigonom´etrique
a0 +
+Σ∞
an cos nωx+bn sin nωx est normalement convergente
2
n=1
sur R, donc absolument et uniform´ement sur R. De plus, sa somme f (x) est continue sur
R, on pourra aussi int´egrer la s´erie terme `a terme dans tout intervalle de longueur T = ²π .
1.1. SE´RIES TRIGONOME´TRIQUES 9
Preuve: On a :
|an cos nωx + bn sin nωx| ≤ |an| + |bn| , ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
Or les s´eries
+Σ∞
an et
+Σ∞
bn sont absolument convergentes, donc
a0 +
+Σ∞
an cos nωx +
n=1
n=1
2
n=1
bn sin nωx converge normalement et alors absolument et uniform´ement sur R.
D’autre part, puisque chaque fonction Un(x) = an cos nωx+bn sin nωx est continue sur
R et que la s´erie
+∞
n=1
Un(x) converge uniform´ement sur R
alors la somme f (x) =
+∞
n=1
Un(x)
est aussi continue sur R.
Proposition 1.2 Si (an)n∈N et (bn)n∈N sont des suites d´ecroissantes, de nombres r´eels,
convergeant vers 0, alors la s´erie trigonom´etrique
––––––––
a0 +
+Σ∞
an cos nωx + bn sin nωx est
2kπ
2
} n=1
simplement convergente sur R\
ω : k ∈ Z .
inωx
inωx
+Σ∞
+∞
et
n=1
an sin nωx convergent si et seulement si
+∞
n=1
aneinωx
converge, idem pour la s´erie
+∞
n=1
bneinωx.
On applique alors la r`egle d’Abel pour ´etudier la convergence des s´eries a` termes
quelconques
+∞
n=1
aneinωx
+∞
et
n=1
bneinωx.
Pour les deux s´eries complexes les suites (an)n∈N et (bn)n∈N sont d´ecroissantes et
tendent vers 0, il suffit alors de majorer ind´ependamment de n la suite des sommes
partielles
n
k=0
eikωx
. On a :
.Σn
. .Σn
k.
. 1 − ei(n+1)ωx . 2
eikωx = eiωx
ou` eiωx
1 car x /= ²kπ , k ∈ Z.
+Σ∞ 1 1
Exemple 1.3 La s´erie trigonom´etrique 1 +
sur R\ {2kπ : k ∈ Z} .
––––––––
n=1
n cos nx + n2 sin nx converge simplement
1.1.3 Repr´esentation complexe d’une s´erie trigonom´etrique
D’apr`es les relations d’Euler cos nωx = einωx+e−inωx et sin nωx = einωx−e−inωx , on a :
an cos nωx + bn sin nωx = an
einωx + e−inωx
––––––––
+ bn
einωx − e−inωx
2i
= an − ibn einωx + an + ibn e−inωx.
En posant c0 = a0
et pour tout n ≥ 1,
c = an − ibn n 2
et c−n
= cn
= an + ibn
2
alors :
an = cn + c−n et bn = i (cn − c−n) .
an cos nωx + bn sin nωx = cneinωx + c−ne−inωx, ∀n ∈ N, n ≥ 1,
et c0
= a0 ,
2
+∞ +∞
a0 + a
2 n
n=1
+∞
cos nωx + bn
sin nωx = c0
+ cn
n=1
einωx + c−n
e−inωx
=
n=−∞
cneinωx.
Cette expression est appel´ee la forme complexe de la s´erie trigonom´etrique.
1.1.4 Calcul des coefficients de la s´erie trigonom´etrique
Soit
+Σ∞
+∞
n=−∞ inωx
––––––––
cneinωx
une s´erie qui converge uniform´ement sur R, alors sa somme f (x) =
pact). On calcul les coefficients cn de la s´erie trigonom´etrique en fonction de sa somme
f (x) de la mani`ere suivante, ∀p ∈ Z :
––––––––
+Σ∞
f (x)e−ipωx = e−ipωx
––––––––
i(n−p)ωx
+∞
n=−∞
––––––––
cneinωx =
+∞
n=−∞
cnei(n−p)ωx.
sur [0, T ], T = ²π , et on a :
T
f (x)e−ipωxdx =
∫T Σ+∞
cnei(n−p)ωx!
dx =
––––––––
+∞ T
cn
––––––––
ei(n−p)ωxdx.
0
Pour n /= p,
0 n=−∞
n=−∞ 0
Si n /= p,
Si n = p,
T
ei(n−p)ωxdx =
0
T
dx = T.
ei(n−p)ωx i (n − p) ω
T
= 0,
0
0
On a alors, ∀p ∈ Z,
T
f (x)e−ipωxdx = cpT et cp =
0
––––––––
T
1 f (x)e−ipωxdx. T
0
Donc ∀n ∈ N∗,
––––––––
cn =
––––––––
T
f (x)e−inωxdx et c−n =
0
––––––––
T
1 f (x)einωxdx. T
0
On en d´eduit alors les coefficients an et bn par les expressions suivantes :
an = et alors :
T
1
f (x)
T
0
––––––––
einωx + e−inωx
i dx et bn = T
T
f (x)
0
e−inωx − einωx dx
2 T
an = T
0
2 T
f (x) cos nωxdx et bn = T
0
f (x) sin nωxdx, ∀n ∈ N.
Ces expressions sont valables aussi pour n = 0. On vient alors de d´emontrer le r´esultat suivant.
Proposition 1.3 Soit la s´erie trigonom´etrique sous sa forme r´eelle
a0 +
+Σ∞
an cos nωx +
+Σ∞
––––––––
inωx
2
n=1
converge uniform´ement sur R vers sa somme f (x), alors on a :
∀n ∈ Z, cn = T
0
f (x)e−inωxdx.
2 ∫T
2 ∫T ∗
bn = T
1.2 S´eries de Fourier
f (x) sin nωxdx, ∀n ∈ N .
D´efinition 1.3 Soit f : R −→ C une fonction T-p´eriodique (T > 0) et int´egrable sur
∫
Fourier de f, la s´erie trigonom´etrique
a0 +
+Σ∞
an cos nωx + bn sin nωx, T = ²π
ou` :
2
2 ∫T
ω
n=1
T
bn = T
0
f (x) sin nωxdx, ∀n ∈ N∗.
La s´erie de Fourier de f peut s’´ecrire aussi
1 ∫T
+∞
n=−∞
––––––––
cneinωx
––––––––
avec :
∀n ∈ Z, cn = T
0
f (x)e−inωxdx.
an et bn sont appel´es respectivement les coefficients cosinus et sinus de Fourier de f. cn sont les coefficients de