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Probabilité a priori

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Dans le théorème de Bayes, la probabilité a priori (ou prior[note 1]) désigne une probabilité se fondant sur des données ou connaissances antérieures à une observation. Elle s'oppose à la probabilité a posteriori (ou posterior[note 1]) correspondante qui s'appuie sur les connaissances postérieures à cette observation.

Formalisation

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Théorème de Bayes

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Le théorème de Bayes s'énonce de la manière suivante :

, si .

désigne ici la probabilité a priori de , tandis que désigne la probabilité a posteriori, c'est-à-dire la probabilité conditionnelle de sachant . est la vraisemblance de A sachant B.

Soit θ un paramètre ou vecteur de paramètres inconnu considéré aléatoire :

  • la loi de la variable aléatoire avant observation est appelée loi a priori, notée généralement [1],[2] ;
  • la loi de la variable aléatoire après observation est appelée loi a posteriori.

Extension du modèle

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Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité associée dépend de , et x l'observation.

Le théorème de Bayes s’énonce alors : .

La probabilité a priori est et la probabilité a posteriori devient .

La loi a priori est toujours et la loi a posteriori est alors la loi de conditionnellement à l'observation de et s'écrit donc [1],[2].

Choix d’une loi de probabilité a priori

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Les lois a priori peuvent être créées à l'aide d'un certain nombre de méthodes[3](pp27–41).

  • Une loi a priori peut être déterminée à partir d'informations antérieures, telles que des expériences précédentes.
  • Elle peut être obtenue à partir de l'évaluation purement subjective d'un expert expérimenté.
  • Une loi a priori non informative peut être créée pour refléter un équilibre entre les résultats lorsque aucune information n'est disponible.

Articles connexes

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Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prior probability » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b Les mots « prior » et « posterior », d'origine anglaise, signifient « avant » et « après » et sont utilisés pour décrire des concepts de l'inférence bayésienne, ou pour formuler de nouveaux (voir par exemple les œuvres de Judea Pearl ou Introduction to Bayesian Statitics de Karl-Rudolf Koch). Ils sont aussi utilisés en français comme synonymes, par exemple par Sophie Gourgou, Xavier Paoletti, Simone Mathoulin-Pélissier dans Méthodes Biostatistiques appliquées à la recherche clinique en cancérologie ou Bas Van Fraassen, Catherine Chevalley dans Lois et symétrie, p. 59.

Références

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  1. a et b Introduction aux Statistiques Bayésiennes. Par Yann Traonmilin et Adrien Richou, Institut de Mathématiques de Bordeaux, PDF, 19 pages
  2. a et b Statistique Bayésienne - Notes de cours. Par Judith Rousseau, ENSAE ParisTech, Troisième année 2009-20010, PDF, 54 pages
  3. Bradley P. Carlin et Thomas A. Louis, Bayesian Methods for Data Analysis, CRC Press, , Third éd. (ISBN 9781584886983)

Bibliographie

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