Corte de Dedekind
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Dedekind_cut-_square_root_of_two.png/220px-Dedekind_cut-_square_root_of_two.png)
En matemáticas, un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado é un par (, ) de subconxuntos de , que forman unha partición de , e onde todos os elementos de son menores que calquera elemento de .
De certa maneira, este corte conceptualiza algo que estaría "entre" e , pero que non ten por que ser un elemento de .
Richard Dedekind introduciu os cortes de Dedekind como un medio para construír o conxunto dos números reais (presentando formalmente o que hai "entre" números racionais).
Definición
[editar | editar a fonte]Un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado defínese por un par (, ), onde e , tal que:
Os puntos 1, 2 e 3 din que e constitúen unha partición de . Polo tanto, a definición de corte determina completamente unha partición.
O punto 4 establece a partición dos elementos de nestas dúas partes. Pode demostrarse que este punto equivale a:
- e
- .
Exemplos
[editar | editar a fonte]Construción dos números reais
[editar | editar a fonte]Se , o conxunto de números racionais, pode considerarse o corte seguinte:
Este corte permite representar o número irracional que aquí se define tanto polo conxunto de números racionais que teñen cadrado máis pequeno que 2 como polo dos que teñen cadrado maior que 2.
A consideración de todos os cortes de Dedekind sobre permite unha construción do conxunto dos números reais .
Orde dos cortes de Dedekind
[editar | editar a fonte]Sexan e dous cortes de Dedekind en . Defínese unha orde no conxunto de cortes de Dedekind de establecendo:
- .
Pódese demostrar que o conxunto dos cortes de Dedekind provisto desta orde posúe a propiedade do elemento principal, aínda que non a posúa. Somerxendo neste conxunto, esténdese a un conxunto do cal todo subconxunto limitado superiormente posúe un supremo.