Sucesión (matemáticas)
En matemáticas, unha sucesión ou secuencia é unha colección enumerada de obxectos na que se permiten as repeticións e importa a orde. Como un conxunto, contén membros (tamén chamados elementos ou termos). O número de elementos (posiblemente infinito ) chámase lonxitude da secuencia. A diferenza dun conxunto, os mesmos elementos poden aparecer varias veces en diferentes posicións nunha secuencia e, a diferenza dun conxunto, a orde importa. Formalmente, unha secuencia pódese definir como unha función desde os números naturais (as posicións dos elementos na secuencia) ata os elementos en cada posición. A noción de secuencia pódese xeneralizar a unha familia indexada, definida como unha función a partir dun conxunto de índices arbitrario.
Por exemplo, (M, I, R, E) é unha secuencia de letras coa letra "M" primeiro e "E" por último. Esta secuencia difire de (I, R, M, E). Ademais, a secuencia (1, 1, 2, 3, 5, 8), que contén o número 1 en dúas posicións diferentes, é unha secuencia válida. As secuencias poden ser finitas, como nestes exemplos, ou infinitas, como a secuencia de todos os enteiros pares positivos (2, 4, 6, ...).
A posición dun elemento nunha secuencia é o seu índice. O primeiro elemento ten un índice 0 ou 1, dependendo do contexto ou dunha convención específica. Na análise matemática, unha secuencia adoita denotarse mediante letras en forma de , e , onde o subíndice n refírese ao n ésimo elemento da secuencia; por exemplo, o n-ésimo elemento da sucesión de Fibonacci denotase xeralmente como .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Cauchy_sequence_illustration2.svg/350px-Cauchy_sequence_illustration2.svg.png)
Notación e exemplos
[editar | editar a fonte]Existen varias formas de denotar unha secuencia. Unha forma de especificar unha secuencia é enumerar todos os seus elementos. Por exemplo, os catro primeiros números impares forman a secuencia (1, 3, 5, 7). Esta notación úsase tamén para secuencias infinitas. Por exemplo, a secuencia infinita de enteiros positivos impares escríbese como (1, 3, 5, 7, ...), usando puntos suspensivos.
Exemplos
[editar | editar a fonte]Os números primos son os números naturais maiores que 1 que non teñen divisores senón 1 e eles mesmos. Tomando estes na súa orde natural dáse a secuencia (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).
Os números de Fibonacci comprenden a secuencia enteira cuxos elementos son a suma dos dous elementos anteriores. Os dous primeiros elementos son 0 e 1 ou 1 e 1 polo que temos a secuencia (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...).[1]
Outros exemplos de secuencias inclúen aquelas formadas por números racionais, números reais e números complexos. A secuencia (.9, .99, .999, .9999, ...), por exemplo, achégase ao número 1. Outro exemplo pode ser π como o límite da secuencia (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...), que é crecente. Unha secuencia relacionada é a secuencia de díxitos decimais de π, é dicir, (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). Esta secuencia non ten ningún modelo que sexa facilmente discernible mediante a inspección.
A OEIS comprende unha gran lista de exemplos de secuencias de enteiros.
Indexación
[editar | editar a fonte]Outras notacións poden ser útiles para secuencias cuxo modelo non se pode adiviñar facilmente ou para secuencias que non teñen un modelo como os díxitos de π. Unha destas notacións é escribir unha fórmula xeral para calcular o n-ésimo termo en función de n, encerrala entre parénteses e incluír un subíndice que indique o conxunto de valores que n pode tomar. Por exemplo, nesta notación a secuencia de números pares podería escribirse como . A secuencia de cadrados podería escribirse como . A variable n chámase índice e o conxunto de valores que pode tomar chámase conxunto de índices.
Unha notaciónn máis pode ser , que denota unha secuencia cuxo n-ésimo elemento vén dado pola variable . Por exemplo:
Pódense considerar varias secuencias ao mesmo tempo empregando diferentes variables; p.ex podería ser unha secuencia diferente á .
A secuencia é unha secuencia bi-infinita, e tamén se pode escribir como .
Nalgúns casos, os elementos da secuencia están relacionados naturalmente cunha secuencia de enteiros cuxa fórmula pode ser facilmente deducida. Nestes casos, o conxunto de índices pode estar implicado por unha lista dos primeiros elementos abstractos. Por exemplo, a secuencia de cadrados de números impares pódese denotar de calquera das seguintes formas.
Definición dunha secuencia por recursividade
[editar | editar a fonte]As secuencias cuxos elementos están relacionados cos elementos anteriores dun xeito sinxelo adoitan definirse mediante recursividade. Isto contrasta coa definición de secuencias de elementos en función das súas posicións.
A secuencia de Fibonacci é un exemplo clásico sinxelo, definido pola relación de recorrencia
con termos iniciais e . A partir disto, un simple cálculo mostra que os dez primeiros termos desta secuencia son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e 34.
Unha recorrencia linear con coeficientes constantes é unha relación de recorrencia da forma
onde son constantes. Existe un método xeral para expresar o termo xeral de tal secuencia en función de n. No caso da secuencia de Fibonacci, temos e a función resultante de n vén dada pola fórmula de Binet.
Definición formal e propiedades básicas
[editar | editar a fonte]Definición
[editar | editar a fonte]Unha sucesión é unha función definida sobre o conxunto dos números naturais agás o cero. É frecuente o uso das letras u, v, w... para designalas, no canto de f, g, h... que serven para as funcións. Do mesmo xeito, a variable denótase normalmente n (por natural) no canto de x, habitual para as variables reais. Por convención, escríbese no canto de u(n):
Finita e infinita
[editar | editar a fonte]A lonxitude dunha secuencia defínese como o número de termos da secuencia.
As secuencias finitas inclúen a secuencia baleira ( ) que non ten elementos.
Unha secuencia que é infinita en ambas direccións, é dicir, que non ten nin un primeiro nin un elemento final, chámase secuencia bi-infinita ou secuencia infinita bidireccional Unha función do conxunto Z de todos os enteiros nun conxunto, como por exemplo a secuencia de todos os enteiros pares ( ..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ... ), é bi-infinito. Esta secuencia podería ser denotada .
Crecente e decrecente
[editar | editar a fonte]Dise que unha secuencia é monótonamente crecente se cada termo é maior ou igual que o anterior. Por exemplo, a secuencia aumenta monótonamente se e só se para todos Se cada termo consecutivo é estritamente maior que (>) o termo anterior, entón a secuencia chámase estritamente crecente monótonamente. Unha secuencia é decrecente monótonamente se cada termo consecutivo é menor ou igual ao anterior, e é decrecente monótonamente se cada un é estritamente menor que o anterior. Se unha secuencia é crecente ou decrecente chámase secuencia monótona. Este é un caso especial da noción máis xeral dunha función monótona.
Os termos non decrecente e non crecente úsanse a miúdo en lugar de crecente e decrecente para evitar calquera posible confusión con estritamente crecente e estritamente decrecente, respectivamente.
Limitada
[editar | editar a fonte]Se a secuencia de números reais (an) é tal que todos os termos son menores que algún número real M, entón dise que a secuencia está limita superiormente. Noutras palabras, isto significa que existe M tal que para todo n, a n ≤ M. Calquera tal M denomínase límite superior. Do mesmo xeito, se, para algún m real, un n ≥ m para todo n maior que algún N, daquela a secuencia está limitada inferiormente e calquera tal m denomínase límite inferior. Se unha secuencia está limitada superiormente e inferiormente, entón dise que a secuencia está limitada.
Subsecuencias
[editar | editar a fonte]Unha subsecuencia dunha secuencia dada é unha secuencia formada a partir da secuencia dada eliminando algúns dos elementos sen perturbar as posicións relativas dos elementos restantes. Por exemplo, a secuencia de enteiros pares positivos (2, 4, 6, ...) é unha subsecuencia dos enteiros positivos (1, 2, 3, ...). As posicións dalgúns elementos mudan cando se eliminan outros. Non obstante, consérvanse as posicións relativas.
Formalmente, unha subsecuencia da secuencia é calquera secuencia da forma , onde é unha secuencia estritamente crecente de enteiros positivos.
Outros tipos de secuencias
[editar | editar a fonte]- Unha secuencia de enteiros é unha secuencia cuxos termos son enteiros.
- Unha sucesión polinómica é unha sucesión cuxos termos son polinomios.
- Unha secuencia enteira positiva ás veces chámase multiplicativa, se anm = anam para todos os pares n, m tal que n e m son coprimos.[2] Noutros casos, as secuencias adoitan chamarse multiplicativas, se an = na1 para todo n.
- Unha secuencia binaria é unha secuencia cuxos termos teñen un de entre dous valores discretos, por exemplo, valores en base 2 (0,1,1,0, ...), unha serie de lanzamentos de moedas (cara/cruz) C,X,C,C,X,... , as respostas a un conxunto de preguntas Verdadeiro ou Falso (V, F, V, V, ...), etc.
Límites e converxencia
[editar | editar a fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/Converging_Sequence_example.svg/320px-Converging_Sequence_example.svg.png)
Se unha secuencia converxe, converxe a un valor particular coñecido como límite. Se unha secuencia converxe a algún límite, entón é converxente. Unha secuencia que non converxe é diverxente (poderían ser mesmo dous límites).
Por exemplo, a secuencia mostrada na dereita converxe ao valor 0. Por outra banda, as secuencias (que comeza 1, 8, 27, ...) e (que comeza −1, 1, −1, 1, ...) ambas as dúas son diverxentes.
Se unha secuencia converxe, entón o valor ao que converxe é único. Este valor chámase límite da secuencia. O límite dunha sucesión converxente normalmente denótase . Se é unha secuencia diverxente, daquela a expresión carece de sentido.
Definición formal de converxencia
[editar | editar a fonte]Unha secuencia de números reais converxe a un número real se, para todos , existe un número natural tal que para todos temos [3]
Aplicacións e resultados importantes
[editar | editar a fonte]Se e son secuencias converxentes, entón existen os seguintes límites e pódense calcular do seguinte xeito: [3][4]
- para todos os números reais
- , sempre que
- para todos e
- Se para todos os maiores que algún , daquela.[a]
- ( Teorema de compresión )
Se é unha secuencia tal que para todos os e ,
daquela é converxente, e . - Se unha secuencia é limitada e monótona, daquela é converxente.
- Unha secuencia é converxente se e só se todas as súas subsecuencias son converxentes.
Secuencias de Cauchy
[editar | editar a fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Cauchy_sequence_illustration.svg/350px-Cauchy_sequence_illustration.svg.png)
Unha sucesión de Cauchy é unha secuencia cuxos termos se achegan arbitrariamente cando n se fai moi grande. A noción de secuencia de Cauchy é importante no estudo de secuencias en espazos métricos e, en particular, na análise real. Un resultado particularmente importante na análise real é a caracterización de Cauchy da converxencia para secuencias :
- Unha secuencia de números reais é converxente (nos reais) se e só se é Cauchy.
En cambio, hai secuencias de Cauchy de números racionais que non son converxentes nos racionais, por exemplo, a secuencia definida por e é Cauchy, pero non ten límite racional. De forma máis xeral, calquera secuencia de números racionais que converxe a un número irracional é Cauchy, mais non converxente cando se interpreta como unha secuencia do conxunto de números racionais.
Os espazos métricos que satisfán a caracterización de converxencia de Cauchy para secuencias chámanse espazos métricos completos e son particularmente apropiados para a análise.
Límites infinitos
[editar | editar a fonte]En cálculo, é común definir a notación para secuencias que non converxen no sentido comentado anteriormente, senón que se fan e permanecen arbitrariamente grandes, ou se fan e permanecen arbitrariamente negativas. Se faise arbitrariamente grande como , escribimos
Neste caso dicimos que a secuencia diverxe. Un exemplo desta secuencia é an = n.
Se vólvese arbitrariamente negativo (é dicir, negativo e grande en magnitude) como , escribimos
e dicimos que a secuencia diverxe cara ao infinito negativo.
Serie
[editar | editar a fonte]Unha serie é, falando informalmente, a suma dos termos dunha secuencia. É dicir, é unha expresión da forma ou , onde é unha secuencia de números reais ou complexos. As sumas parciais dunha serie son as expresións resultantes de substituír o símbolo do infinito por un número finito, é dicir, a N-ésima suma parcial da serie. é o número
As propias sumas parciais forman unha secuencia , que se denomina secuencia de sumas parciais da serie . Se a secuencia de sumas parciais converxe, dicimos que a serie é converxente, e o límite chámase valor da serie. A mesma notación úsase para indicar unha serie e o seu valor, é dicir, escribimos .
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ "Sequences". www.mathsisfun.com. Arquivado dende o orixinal o 2020-08-12. Consultado o 2020-08-17.
- ↑ Lando, Sergei K. (2003-10-21). "7.4 Multiplicative sequences". Lectures on generating functions. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
- ↑ 3,0 3,1 Gaughan, Edward (2009). "1.1 Sequences and Convergence". Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
- ↑ Dawikins, Paul. "Series and Sequences". Paul's Online Math Notes/Calc II (notes). Arquivado dende o orixinal o 30 November 2012. Consultado o 18 December 2012.
- ↑ Se as desigualdades son substituídas por desigualdades estritas, pode non manterse a desigualdade no límite: hai secuencias tal que para todo , mais .
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Sucesión |
Outros artigos
[editar | editar a fonte]- On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Relación de recorrencia
- Progresión xeométrica
- Progresión aritmética