Euler-függvény
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/EulerPhi.svg/350px-EulerPhi.svg.png)
A -nel jelölt Euler-függvény (vagy Euler-féle fí-függvény) a matematikában a számelmélet, különösen a moduláris számelmélet egyik igen fontos függvénye, egy egész számokon értelmezett egész értékű ún. számelméleti függvény. J. J. Sylvester 1879-ben a totient (kb. „annyiszoros”, magyarul a hányados-kvóciens mintájára esetleg tóciens) függvény nevet adta neki.
Legelemibb meghatározása, hogy egy adott pozitív egész számhoz a nála nem nagyobb relatív prím pozitív egész számok számát adja meg.
Formálisan:
Egy másik, de fentivel teljességgel azonos függvényt adó értelmezésben e függvény a modulo n redukált maradékosztályok számát adja meg (ez gyakorlatilag ugyanaz, mint az előbbi definíció, elvontabban, a maradékaritmetika kifejezéseivel megfogalmazva).
Félig-meddig explicit (a számelmélet alaptételét használó) képlet is adható e függvény kiszámítására, ld. lentebb.
Általánosítása a Jordan-függvény.
Értékei kis számokra
[szerkesztés]
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Legfontosabb tulajdonságai
[szerkesztés]Multiplikativitás
[szerkesztés]Talán a legfontosabb tulajdonsága, hogy („gyengén”) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán ugyanazt az értéket veszi fel, mint ami a két számon felvett értékének szorzata:
Például:
- a=7 az prím szám, és
- b=11 szintén prím, és
(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)
A két prímszám szorzata: , valamint , ami pontosan .
Kiszámítása
[szerkesztés]- Viszonylag könnyű belátni a következőket:
- Ha prímszám, akkor (mert éppen akkor prím egy p egész szám, ha minden nála kisebb pozitív szám relatív prím hozzá, különben lenne önmagánál kisebb prímosztója!) .
- Ha prímhatvány, akkor
- Általánosabb n-re a multiplikativitás és az előző kis tulajdonság alapján, a számelmélet alaptétele felhasználásával számítható ki;
- Bár talán még elemibb módszer, ha csak a szitaformulát használjuk. Ekkor az így kapott képletből is adódik a multiplikativitás (mindkét módszer persze ugyanazt a képletet eredményezi): ha , , és (páronként) különböző prímek, akkor érvényes
ahol tehát az szám különböző prímtényezőinek száma, pedig valamely prímtényezője. A képlet n=0,1-re nem alkalmazható, de mind az elemi, mind a formális definíció szerint φ(0)=0, φ(1)=1.
Például φ(10) = 10×(1-1/2)×(1-1/5) = 10×(1/2)×(4/5)=4; és valóban az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közt négy darab 10-hez relatív prím van: 1, 3, 7, és 9.
A Möbius-függvény segítségével ez
alakban írható.
Az osztókra összeadva
[szerkesztés]Ez bizonyítható az explicit formulából, de így is: vegyük az
törteket. Ezek száma nyilván n. Írjuk mindegyiket egyszerűsített formában! Ekkor ezek a/d alakú törtek lesznek, ahol d osztója n-nek. Adott d-hez azok az a számlálók adódnak, amelyekkel egyszerűsített törtet alkot, azaz, ha . Innen adódik a kívánt azonosság.
Összegfüggvénye
[szerkesztés]Tóciens számok
[szerkesztés]Egy totient vagy tóciens szám (a kvóciens mintájára) az Euler-függvény által felvett érték, tehát a φ függvény értékkészletének egy eleme. Olyan m egész, amihez létezik legalább egy olyan n, amire φ(n) = m. A tóciens m szám valenciáján vagy multiplicitásán az előbbi egyenlet megoldásainak számát értjük (tehát hogy a φ függvény hányszor veszi fel az m értéket).[1] Egy nontóciens szám alatt olyan természetes számot értünk, ami nem tóciens szám; az egynél nagyobb páratlan számok mind ilyenek, de rajtuk kívül is végtelen sok nontóciens szám létezik,[2] és minden páratlan számnak létezik páros, nontóciens többszöröse.[3]
Az x-nél kisebb tóciens számok határértéke
- ,
ahol a konstans C = 0,8178146... .[4]
Ha a multiplicitást figyelembe véve számoljuk össze, az x-nél kisebb tóciens számokat megadó képlet:
- ,
ahol az R hibatag nagyságrendje legfeljebb bármilyen pozitív k-ra.[5]
Ismert az is, hogy m multiplicitása végtelen sokszor haladja meg mδ-t, amennyiben δ < 0,55655.[6][7]
Ford tétele
[szerkesztés](Ford 1999) igazolta, hogy minden k ≥ 2 egész számhoz létezik k multiplicitású m tóciens szám; tehát amire a φ(n) = m egyenletnek pontosan k megoldása van; az eredményt korábban Wacław Sierpiński sejtette meg,[8] Schinzel H hipotézise folyományaként.[4] Valóban, minden előforduló multiplicitás végtelen sokszor is előfordul.[4][7]
Nem ismerünk azonban olyan m számot, melynek multiplicitása k = 1. A Carmichael-sejtés állítása szerint nem is létezik ilyen m.[9]
Ritkán tóciens számok
[szerkesztés]A ritkán tóciens számok koncepcióját David Masser és Peter Man-Kit Shiu alkották meg 1986-ban. Megmutatták, hogy minden primoriális ritkán tóciens. Egy n természetes szám pontosan akkor ritkán tóciens, ha minden m > n természetes számra:
ahol az Euler-függvényt jelenti.
Erősen tóciens számok
[szerkesztés]Az elgondolás hasonló, mint az erősen összetett számoké: egy erősen tóciens szám (highly totient number) olyan k egész szám, amire több megoldása van a
- φ(x) = k
egyenletnek – φ az Euler-függvényt jelöli – mint bármely nála kisebb egésznek. Nagyobb a valenciája vagy multiplicitása, mint a nála kisebb számoknak.[10]
Kotóciens
[szerkesztés]Az n szám kotóciense éppen n − φ(n). Értéke megegyezik az n-nél nem nagyobb, n-nel legalább egy közös prímtényezővel bíró számokéval.
A nonkotóciens számok azok a számok, melyek nem fordulnak elő semmilyen szám kotócienseként sem, tehát az m − φ(m) = n egyenletnek nincs megoldása m-re.
Erősen kotóciens számok
[szerkesztés]Egy erősen kotóciens szám (highly cototient number) olyan k>1 egész szám, amire több megoldása van a következő egyenletnek:
- x − φ(x) = k,
mint bármely 1<n<k egész szám esetében, tehát ami több számnak kotóciense, mint bármely nála kisebb 1-nél nagyobb egész. Az egyenletben φ az Euler-függvényt jelöli. Mivel a k = 1 esetben az egyenletnek végtelen sok megoldása van, ezért ezt az értéket kihagyták a definícióból.
Egyéb
[szerkesztés]- Külföldön néha Euler's totient functionnak, azaz kb. „Euler annyiszoros-függvényének” nevezik, itt a totient szó a latin eredetű totiens (annyiszor(os), ahány) szóból származik, állítólag a quotiens („hányszoros”, azaz hányados, kvóciens) mintájára alkotta meg J. J. Sylvester 1879-ben: „The so-called φ function of any number I shall here and hereafter designate as its τ function and call its Totient.” .
- Néha a Gamma-függvényt is nevezik Euler-féle gammafüggvénynek.
- A Mathematica programban az EulerPhi függvénnyel számolható ki az értéke.
További információk
[szerkesztés]- Alice és Bob - 20. rész: Alice, Bob, Euler és Fermat
- Alice és Bob - 21. rész: Alice és Bob titkosít
- Alice és Bob - 26. rész: Alice és Bob átlépi a célvonalat
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Guy (2004) p.144
- ↑ Sándor & Crstici (2004) p.230
- ↑ Zhang, Mingzhi (1993). „On nontotients”. Journal of Number Theory 43, 168–172. o. DOI:10.1006/jnth.1993.1014. ISSN 0022-314X.
- ↑ a b c Ford, Kevin (1998). „The distribution of totients”. Ramanujan J. 2, 67–151. o. DOI:10.1007/978-1-4757-4507-8_8. ISSN 1382-4090.
- ↑ Sándor et al (2006) p.22
- ↑ Sándor et al (2006) p.21
- ↑ a b Guy (2004) p.145
- ↑ Sándor & Crstici (2004) p.229
- ↑ Sándor & Crstici (2004) p.228
- ↑ MathWorld: Totient Valence Function