リーマンのクシー関数
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数学において、リーマンのクシー関数(リーマンのクシーかんすう、英: Riemann Xi function)はリーマンのゼータ関数の変形で、とりわけ単純な関数等式をもつように定義される。関数はベルンハルト・リーマンに敬意を表して名づけられている。
定義
[編集]リーマンのもともとの小文字のクシー関数、ξ はエトムント・ランダウによって大文字のクシー Ξ に改名された(下記参照)。ランダウの小文字クシー ξ は次のように定義される[1]: s ∈ C に対して
ここで ζ(s) はリーマンのゼータ関数を表し、Γ(s) はガンマ関数である。クシーの関数等式(あるいは reflection formula)は
である。大文字のクシー Ξ は Landau (loc. cit., §71) によって
と定義され、関数等式
をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 Ξ はリーマンがもともと ξ によって表記した関数である。
値
[編集]偶数に対する一般式は
である、ただし Bn は n 番目のベルヌーイ数を表す。例えば
である。
級数表現
[編集]クシー関数は級数展開
をもつ、ただし
であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 ρ を |Im(ρ)| の順番で渡る。
この展開は Li's criterion においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の n に対して λn > 0 であることと同値であるというものである。
アダマール積
[編集]単純な無限積展開は
ただし ρ は ξ の根を走る。
展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち ρ と 1 − ρ の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。
関連項目
[編集]- 与えられた数より小さい素数の個数について - クシー関数を導入したリーマンの論文
脚注
[編集]- ^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.
関連文献
[編集]- Weisstein, Eric W. "Xi-Function". mathworld.wolfram.com (英語).
- Keiper, J.B. (1992). “Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198): 765–773. Bibcode: 1992MaCom..58..765K. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.
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