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数学の、特に偏微分方程式や微分幾何学における楕円型複体(だえんがたふくたい、英: elliptic complex)とは、楕円型作用素の概念を列に一般化したものである。楕円型複体は、ホッジ理論を展開する上で本質的となるド・ラーム複体とドルボー複体に共通の特徴を取り出したものである。アティヤ=シンガーの指数定理とアティヤ=ボットの不動点定理の関連でも現れる。
E0, E1, ..., Ek をある(通常コンパクトに取られる)滑らかな多様体 M 上のベクトル束とするとき、微分複体(differential complex)は次の微分作用素の列
![{\displaystyle \Gamma (E_{0}){\stackrel {P_{1}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{1}){\stackrel {P_{2}}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {P_{k}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976db7b6dafdeda31ee23ff1b3078a42c72d6f1b)
で与えられる。ここでそれらの作用素は、Pi+1 o Pi=0 であるような Ei の切断の層である。微分複体が楕円型(elliptic)であるとは、表象の列
![{\displaystyle 0\rightarrow \pi ^{*}E_{0}{\stackrel {\sigma (P_{1})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}E_{1}{\stackrel {\sigma (P_{2})}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {\sigma (P_{k})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}E_{k}\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df20066f98f0091a76bf11ec795e7eb7e0c2f020)
がゼロ切断の外側で完全であることを言う。ここで π は M への余接束 T*M の射影であり、π* はあるベクトル束の引き戻し(英語版)である。