에르미트 항등식이란 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 임의의 실수
와 양의 정수
에 대하여 항상 성립하는 항등식이다. 이는 다음과 같다.
(단,
는 가우스 기호이다. 이는
를 넘지 않는 최대의 정수이다.)
[증명 1-대수(해석)적 증명법]
라고 가정하자.
그러므로,
임을 증명하면 된다.
를 대입해 주면,
가 된다.
즉,
은 주기가
인 주기함수가 된다.
(추가로
일 때
는 주기가
인 함수이다.)
그러므로
인
에 대하여
임을 증명하면 되는 것이다.
.
.
.
위의 식을 다 더하면
.
따라서 에르미트 항등식은 성립한다.
[증명2-정수적 증명(바닥함수의 정의 이용)]
라고 가정하자. (단,
은 정수,
이다.)
임을 알 수 있다.
이때,
,
이 성립한다고 가정하면,
가 성립한다. (
는 자연수)
또한, 두 부등식
,
을 연립하여 정리하면,
이 되고 양변에
를 더해 주면,
이 되고,
이므로,
이다.
따라서
이므로,
이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.