Pergi ke kandungan

Pelengkap (teori set)

Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Sebuah bulatan berisi warna merah di dalam sebuah segi empat. Luas luar bulatan tidak terisi. Sempada kedua-dua bulatan dan segi empat adalah hitam.
Jika ialah luas berwarna merah dalam gambar ini...
Sebuah bulatan kosong di dalam sebuah segi empat. Luas di dalam pesegi tidak dilitupi bulatan merah. Sempadan kedua-dua bulatan dan segi empat adalah hitam.
… maka pelengkap ialah segala sesuatu yang lain.

Dalam teori set, pelengkap set , sering kali dilambangkan oleh (atau ),[1][2] adalah unsur yang bukan di .[3]

Ketika semua set dalam pertimbangan dianggap menjadi subset diberikan set , pelengkap mutlak ialah set unsur di , tetapi bukan di .

Pelengkap relatif terhadap sebuah set , juga disebut beza set dan , ditulis , adalah set unsur-unsur di tapi bukan di .[1]

Pelengkap mutlak

[sunting | sunting sumber]
Pelengkap mutlak (bulatan sebelah kiri) di : .

Jika ialah sebuah set, maka pelengkap mutlak ) ialah set unsur-unsur yang bukan di (dalam sebuah set lebih besar yang secara implisit ditakrifkan). Dengan kata lain, misalkan menjadi sebuah set yang berisi semua unsur-unsur yang diperhatikan, jika tidak ada yang perlu untuk menyebutkan , sama ade kerana telah ditentukan sebelumnya, atau dengan jelas dan unik, maka pelengkap mutlak ialah pelengkap relatif di :[4]

Atau secara formal:

.

Pelengkap mutlak biasanya dilambangkan oleh .[1] Notasi lainnya termasuk , ,[3] , dan .[5]

Sebagai contoh, andaikan bahawa semesta ialah set nombor bulat. Jika ialah set nombor ganjil, maka pelengkap adalah set nombor genap. Jika ialah set gandaan 3, maka pelengkap ialah set bilangan kongruen dengan 1 atau 2 modulo 3 (atau, secara ringkasnya, nombor bulat bukan gandaan 3).

Sifat-sifat

[sunting | sunting sumber]

Andaikan dan menjadi dua set dalam sebuah semesta . Identiti berikut merangkumi sifat-sifat pelengkap mutlak yang penting:

Hukum de Morgan:[6]

  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • Jika , maka .

(ini diikuti daripada kesetaraan syarat dengan kontrapositifnya).

Hukum pelengkap involusi atau ganda:

  • .

Hubungan antara pelengkap mutlak dan relatif:

  • .
  • .

Hubungan dengan sebuah beza set:

  • .

Dua hukum pelengkap pertama di atas menunjukkan bahawa jika adalah sebuah set bukan kosong, subset , maka ialah pemetakan .

Pelengkap relatif

[sunting | sunting sumber]

Jika dan ialah set, maka pelengkap relatif dalam ,[6] juga disebut beza set dan ,[7] adalah set unsur-unsur di tapi bukan di .

Pelengkap relatif (bulatan sebelah kiri) di (bulatan sebelah kanan): .

Pelengkap relatif di dilambangkan berdasarkan piawai ISO 31-11. Kadangkala, ini ditulis sebagai ,[1] tapi notasi ini bersifat samar kerana dalam beberapa konteks, ini dapat difahami sebagai set semua unsur , di mana diambil dari dan diambil dari .

Secara formal:

.
  • .
  • .
  • Jika ialah set nombor nyata dan ialah set nombor nisbah, maka ialah set nombor bukan nisbah.

Sifat-sifat

[sunting | sunting sumber]

Andaikan , , dan menjadi tiga set. Identiti berikut merangkumi sifat-sifat penting pelengkap relatif:

  • .
  • .
  • , dengan kes khusus penting menunjukkan bahawa persilangan dapat diungkapkan hanya menggunakan operasi pelengkap relatif.
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Hubungan pelengkap

[sunting | sunting sumber]

Sebuah hubungan binari dapat ditakrifkan sebagai sebuah subset darab set . Hubungan pelengkap merupakan pelengkap set di . Pelengkap relatif dapat ditulis

.

Di sini, sering kali dipandang sebagai sebuah matriks logik dengan baris mewakili unsur-unsur , dan unsur-unsur lajur . Kebenaran mengenai berpadanan dengan 1 dalam baris , lajur . Menghasilkan hubungan pelenkap ke , kemudian berpadanan dengan menukar semua 1 dan 0, dan 0 ke 1 bagi matriks logik dari pelengkap.

Bersama dengan pelengkap relatif dan hubungan songsang, hubungan pelengkap dan algebra set merupakan operasi-operasi asas dalam kalkulus relatif.

Notasi LaTeX

[sunting | sunting sumber]

Dalam bahasa penyusunan huruf LaTeX, perintah \setminus [8]biasanya digunakan dalam mewakili sebuah simbol beza set yang serupa dengan sebuah simbol garis palang terbalik. Ketika diucapkan, perintah \setminus terlihat serupa dengan \backslash, kecuali bahawa ini memiliki sebuah ruang lebih sedikit di depan dan di belakang palang, sama dengan barisan LaTeX \mathbin{\backslash}. Sebuah varian \smallsetminus tersedia dalam pek amssymb.

  1. ^ a b c d "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggeris). 2020-03-01. Dicapai pada 2020-09-04.
  2. ^ "Complement and Set Difference". web.mnstate.edu. Diarkibkan daripada yang asal pada 2021-01-23. Dicapai pada 2020-09-04. Unknown parameter |dead-url= ignored (bantuan)
  3. ^ a b "Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Dicapai pada 2020-09-04.
  4. ^ Set yang pelengkapnya dianggap sedemikian secara implisit ditentukan dalam sebuah pelengkap mutlak, dan secara eksplisit ditentukan dalam sebuah pelengkap relatif.
  5. ^ Bourbaki 1970, halaman E II.6.
  6. ^ a b Halmos 1960, halaman 17.
  7. ^ Devlin 1979, halaman 6.
  8. ^ [1] The Comprehensive LaTeX Symbol List

Bibliografi

[sunting | sunting sumber]

Pautan luar

[sunting | sunting sumber]