Eenheidswortel
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/3rd_roots_of_unity.svg/260px-3rd_roots_of_unity.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Complex_x_hoch_3.jpg/260px-Complex_x_hoch_3.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Complex_x_hoch_5.jpg/260px-Complex_x_hoch_5.jpg)
In de wiskunde zijn voor een gegeven positief geheel getal de complexe -de eenheidswortels alle complexe getallen die 1 opleveren, als zij tot de macht worden verheven. De eenheidswortels worden ook de Moivre-getallen genoemd, naar Abraham de Moivre. In een commutatieve ring met eenheid een wordt op dezelfde wijze een eenheidswortel gedefinieerd.
De complexe -de eenheidswortels liggen op de eenheidscirkel van het complexe vlak en zij vormen in dat vlak -zijdige regelmatige veelhoeken met een hoekpunt op 1 en het middelpunt op 0. De -de eenheidswortels zijn een nulpunt van .
Definitie
[bewerken | brontekst bewerken]In een commutatieve ring met eenheid heet een element een -de eenheidswortel, als , of anders gezegd, als een nulpunt is van .
Een -de eenheidswortel wordt primitief genoemd, als voor . De primitieve -de eenheidswortels zijn die , waarvoor en relatief priem zijn.
De -de eenheidswortels in vormen een ondergroep van de vermenigvuldigingsgroep , die vaak met wordt aangegeven. Deze groep is een abelse groep en wordt een cirkelgroep genoemd.
De complexe -de eenheidswortels zijn de complexe getallen
Voorbeeld
[bewerken | brontekst bewerken]De drie 3e eenheidswortels zijn geschreven met de stelling van De Moivre:
- en
Literatuur
[bewerken | brontekst bewerken]- Lang, Serge (2002). Algebra, revised 3rd edition. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95385-X.
- Milne, James S., Algebraic Number Theory. Course Notes (1998).
- Milne, James S., Class Field Theory. Course Notes (1997).
- Neukirch, Jürgen (1986). Class Field Theory. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-15251-2.
- Washington, Lawrence C. (1997). Cyclotomic fields, 2nd edition. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94762-0.