Naar inhoud springen

Kwadratische reciprociteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De wet van de kwadratische reciprociteit is een stelling uit het modulair rekenen, een deelgebied van de getaltheorie, die voorwaarden geeft voor de oplosbaarheid van kwadratische vergelijkingen modulo een priemgetal. Er zijn enkele equivalente formuleringen van de stelling, een tweetal aanvullingen en de versie van Legendre.

Eén versie van de stelling zegt dat voor oneven priemgetallen en geldt:

waarin

het Legendresymbool is.

De stelling laat dus zien welke van de waarden +1 en -1 het product van de twee Legendresymbolen heeft en daarmee dat de kwadratische vergelijkingen

en

beide oplosbaar of beide onoplosbaar zijn, tenzij zowel als bij deling door 4 de rest 3 hebben, in welk geval een van beide vergelijkingen oplosbaar is en de andere onoplosbaar. De stelling biedt echter geen houvast voor het vinden van de oplossingen.

Laat twee verschillende priemgetallen zijn. Dan geldt

Eerste aanvulling
is oplosbaar dan en slechts dan als .
Tweede aanvulling
is oplosbaar dan en slechts dan als .

Versie van Legendre

[bewerken | brontekst bewerken]

Laat priemgetallen zijn en stel , als en , als . (Dat wil zeggen en .) Dan is

dan en slechts dan oplosbaar, als

oplosbaar is.


Het vermoeden, dat aan de stelling voorafging, werd door Euler en Legendre geuit. De stelling werd als eerste bewezen door Gauss[1]. Gauss verwijst in de Disquisitiones Arithmeticae en zijn nagelaten werk naar deze stelling als de 'fundamentele stelling'. In de privésfeer had hij het over de 'gouden stelling'[2]. Hij publiceerde zes bewijzen, en twee meer werden in zijn nagelaten papieren gevonden. Er zijn nu meer dan 200[3] gepubliceerde bewijzen.

Het eerste deel van dit artikel maakt geen gebruik van de Legendre-symbool en geeft de formuleringen van kwadratische reciprociteit zoals deze zijn geformuleerd door Legendre en Gauss. Het Legendre-Jacobi-symbool werd geïntroduceerd in de tweede paragraaf.

  1. Gauss, DA § 4, arts 107-150
  2. Bijvoorbeeld in zijn wiskundige dagboek voor 8 april, 1796 (de datum waarop hij voor het eerst bewezen kwadratische reciprociteit). Zie facsimile-pagina van Felix Kleins Development of Mathematics in the 19th Century (Ontwikkeling van de wiskunde in de 19e eeuw)
  3. Zie F. Lemmermeyers chronologie en bibliografie van bewijzen voor kwadratische reciprociteit in de externe verwijzingen
  • (en) Kwadratische reciprociteit[dode link]