Przejdź do zawartości

Centralizator i normalizator

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Centralizator

[edytuj | edytuj kod]

Niech Centralizatorem elementu nazywamy podgrupę

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru nazywamy grupę

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru

Centrum

[edytuj | edytuj kod]

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy mamy zatem

O centralizatorze elementu można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie zawierającej w swoim centrum

Indeks grupy względem centrum można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia,

Twierdzenie Schura

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli to

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w[1].

Normalizator

[edytuj | edytuj kod]

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru

Normalizatorem w jest podgrupa

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli to jest największą podgrupą mającą jako swoją podgrupę normalną.

Działanie grupy na zbiorze

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy grupy na zbiorze warstw zadane wzorem Wówczas jest podgrupą normalną Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w

Jeśli to

Oznaczenia

[edytuj | edytuj kod]

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie mamy więc oraz dla dowolnego zbioru

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Niech będą grupami,

  • Niech co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i komutują ze sobą.
    • Jeśli to
  • Jeśli jest abelowa, to oraz
    • grupa jest abelowa
  • jest zawsze podgrupą normalną
    • jest podgrupą normalną
  • Jeśli grupa ilorazowa jest cykliczna, to jest abelowa.
  • Jeśli jest grupą nieabelową, to jej indeks względem jest większy od
  • Jeśli to

Jeżeli wtedy grupa ilorazowa jest izomorficzna z podgrupą grupą automorfizmów

Jeżeli to jest izomorficzna z podgrupą zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy

Jeżeli to homomorfizm taki, że pozwala na opisanie oraz w terminach działania grupy na grupie

  • jest stabilizatorem w
  • jest podgrupą punktów stałych

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Herrn Huppert: Endliche Gruppen, I. Springer Verlag, 1967.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.