Przejdź do zawartości

Funkcje hiperboliczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykres funkcji sinh
Wykres funkcji cosh to krzywa łańcuchowa.
Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny
Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny

Funkcje hiperboliczne – zbiór sześciu funkcji zdefiniowanych przez działania arytmetyczne na funkcji wykładniczej[1]:

nazwa symbole wzory
sinus hiperboliczny
cosinus hiperboliczny
tangens hiperboliczny
cotangens hiperboliczny
secans hiperboliczny
cosecans hiperboliczny

Funkcje te mogą mieć dziedzinę rzeczywistą lub zespoloną i zalicza się je do funkcji elementarnych[1]. Mają własności analogiczne do funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli (jej prawej, dodatniej części).

Przez funkcje hiperboliczne można definiować funkcje polowe, inaczej funkcje area lub areafunkcje – są to funkcje odwrotne tych hiperbolicznych, wyrażane też przez logarytmy.

Dzieje

[edytuj | edytuj kod]

Do nauki wprowadził je włoski matematyk Vincenzo Riccati, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem[2]. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji.

Szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert upowszechnił te funkcje, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego[3].

Związki trygonometryczne

[edytuj | edytuj kod]
 Zobacz też: funkcje trygonometryczne.

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

Ponadto korzystając ze wzoru Eulera

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

skąd:

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem (sinh, cosh, sech, csech), albo (tgh, ctgh).

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli oznacza złotą proporcję, to:

Zależności hiperboliczne

[edytuj | edytuj kod]
 Osobny artykuł: jedynka hiperboliczna.

Odpowiednikiem „jedynki trygonometrycznej

jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne i całki

[edytuj | edytuj kod]

Rozwinięcia

[edytuj | edytuj kod]
Szeregi potęgowe
Iloczyny nieskończone

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b funkcje hiperboliczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].
  2. Robert E. Bradley, Lawrence A. D’Antonio, Charles Edward Sandifer, Euler at 300: an appreciation, Mathematical Association of America, 2007, s. 100.
  3. Georg F. Becker, Hyperbolic functions, Read Books, 1931, s. xlviii.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]