Przejdź do zawartości

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych i nad tym samym ciałem to para gdzie to przestrzeń liniowa nad ciałem a to przekształcenie dwuliniowe dane wzorem które nazywamy iloczynem tensorowym, przy czym spełniona jest tzw. własność uniwersalności. Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi. Przestrzeń liniową wraz z przekształceniem dwuliniowym nazwiemy iloczynem tensorowym przestrzeni i jeżeli[1]:

(1) Obraz rozpina przestrzeń

(2) Dla każdego przekształcenia dwuliniowego (w dowolną przestrzeń liniową ) istnieje przekształcenie liniowe takie, że

Przestrzeń liniową oznaczamy a przekształcenie oznaczamy i nazywamy iloczynem tensorowym.

Innymi słowy, iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych to jedyna z dokładnością do izomorfizmu taka przestrzeń liniowa wraz z przekształceniem dwuliniowym że poniższy diagram jest przemienny.

Tę własność iloczynu tensorowego nazywa się własnością uniwersalności.

Konstrukcja iloczynu tensorowego

[edytuj | edytuj kod]

Definicja iloczynu tensorowego jest niekonstruktywna i nie rozstrzyga, czy iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych w ogóle istnieje. Okazuje się, że iloczyn tensorowy dowolnych przestrzeni liniowych i nad ciałem istnieje i może zostać skonstruowany w następujący sposób[1][2]. Niech będzie przestrzenią liniową nad generowaną przez . Elementami są funkcje postaci o skończonym nośniku (tzn. przyjmujące niezerowe wartości tylko dla skończonej liczby par ). W dla dowolnych wybieramy podprzestrzeń liniową rozpiętą przez funkcje postaci

gdzie dla to funkcja dana wzorem

Przestrzeń ilorazowa wraz z działaniem danym wzorem

jest iloczynem tensorowym przestrzeni liniowych i

Uwagi do konstrukcji

[edytuj | edytuj kod]

(1) Powyższa konstrukcja jest standardową konstrukcją iloczynu tensorowego i bardzo często jest podawana jako definicja.

(2) Funkcje są najczęściej oznaczane i utożsamiane z

(3) jest zbiorem, elementem rodziny zbiorów

(4) nie jest dobrym kandydatem na iloczyn tensorowy gdyż jest przestrzenią liniową nieskończenie wiele wymiarową nawet gdy są przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi. Jest więc zdecydowanie zbyt bogata na nasze potrzeby, chcemy bowiem, aby

(5) jest kandydatem na iloczyn tensorowy. Niestety tak zdefiniowany iloczyn tensorowy nie byłby działaniem dwuliniowym, gdyż np.

(6) Chcielibyśmy, aby zachodziły równości

itd. Zachodzenie tych równości można wymusić, biorąc odpowiednią przestrzeń ilorazową

(7) Ogólnie rzecz biorąc, jeżeli jest podmodułem modułu to w module ilorazowym dla mamy

czyli w module ilorazowym elementy zlepione do zera.

(8) Równości

itd. zachodzą w przestrzeni ilorazowej Istotnie, ponieważ

to w związku z tym co zostało powiedziane powyżej

Innymi słowy

(9) W związku z powyższym zdefiniowane wzorem

jest już działaniem dwuliniowym, tak jak powinno być.

(10) Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest zdefiniowany niejednoznacznie i jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W związku z tym w konkretnych zastosowaniach iloczyn tensorowy może być skonstruowany inaczej niż w konstrukcji z poprzedniej sekcji, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych i (patrz: Przykłady).

(11) W analogiczny sposób może zostać skonstruowany iloczyn tensorowy modułów.

Baza i wymiar iloczynu tensorowego

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli przestrzenie liniowe są skończeniewymiarowe, to ich bazy indukują bazę iloczynu postaci

W szczególności wynika z tego, że każdy element można jednoznacznie przedstawić w postaci

dla pewnych skalarów

Wynika z tego także, że jeżeli przestrzenie i są skończeniewymiarowe, to

Własności iloczynu tensorowego

[edytuj | edytuj kod]

(1) Przestrzenie liniowe i są naturalnie izomorficzne, tzn.

Jednakże dla już nawet, gdy Wynika to z tego, że w ogólności

(2) Przestrzenie i są naturalnie izomorficzne. Pozwala to na pisanie po prostu

(3) Jeżeli i są skończeniewymiarowe, to

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych

[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych definiujemy w sposób indukcyjny

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn tensorowy jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W konkretnych przypadkach iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych można skonstruować inaczej, niż to zostało pokazane w sekcji o konstrukcji iloczynu tensorowego, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych, co pokazują następujące przykłady.

(1) Niech Iloczynem tensorowym i nazwiemy z iloczynem zdefiniowanym następująco

(2) W szczególności, gdy przykładowo to iloczynem tensorowym jest z iloczynem zdefiniowanym jako

lub też w zapisie kolumnowym

(3) Niech będzie dowolnym zbiorem, a niech oznacza zbiór funkcji postaci z działaniami zdefiniowanymi punktowo, tzn.

dla z tak zdefiniowanymi działaniami tworzy przestrzeń liniową.

Niech będą dowolnymi zbiorami. Iloczyn tensorowy przestrzeni i definiujemy jako z iloczynem zdefiniowanym wzorem

(4) (Iloczyn tensorowy form wieloliniowych) Niech będzie dowolną przestrzenią liniową. Niech oznacza przestrzeń liniową form -liniowych na z działaniami zdefiniowanymi punktowo. Iloczyn tensorowy przestrzeni i definiujemy jako z iloczynem danym wzorem

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]