Liczby trójkątne
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/First_six_triangular_numbers.svg/220px-First_six_triangular_numbers.svg.png)
Liczba trójkątna – liczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są:
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych liczb naturalnych:
Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego[1]:
gdzie jest symbolem Newtona:
Liczba jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru -elementowego, zatem -ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla osób[a].
Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową[2] .
Własności arytmetyczne
[edytuj | edytuj kod]Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:
- różnica:
- suma:
Uogólnienia
[edytuj | edytuj kod]Liczby trójkątne należą do rodziny liczb figurowych[3][4] .
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ liczba trójkątna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .
- ↑ Jeleński 1988 ↓.
- ↑ Eric W. Weisstein , Figurate Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-12-23] (ang.).
- ↑ Wilenkin 1972 ↓.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Szczepan Jeleński: Śladami Pitagorasa. Warszawa: 1988. ISBN 83-02-02857-6.
- N.J. Wilenkin: Kombinatoryka. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).