Przejdź do zawartości

Liczby trójkątne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Sześć pierwszych liczb trójkątnych (bez )

Liczba trójkątna liczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

(ciąg publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać A000217 w OEIS).

Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych liczb naturalnych:

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego[1]:

gdzie jest symbolem Newtona:

Liczba jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru -elementowego, zatem -ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla osób[a].

Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową[2].

Własności arytmetyczne

[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica:
suma:

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]

Liczby trójkątne należą do rodziny liczb figurowych[3][4].

  1. Zagadnienie przywitań (ang. handshake problem): w pomieszczeniu spotyka się osób, każda przywita się z każdą, ile będzie przywitań (handshake, dosł. podań ręki)?

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. liczba trójkątna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01].
  2. Jeleński 1988 ↓.
  3. Eric W. Weisstein, Figurate Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-12-23] (ang.).
  4. Wilenkin 1972 ↓.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]