Przejdź do zawartości

Podziały metaliczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
złoty podział
srebrny podział
Złoty i srebrny podział oraz definiujące je prostokąty.

Podziały metaliczne[1] to dodatnie pierwiastki równania kwadratowego

.
Prostokąt definiujący srebrny podział.

Każdy prostokąt zawiera w sobie co najmniej jeden kwadrat o krawędzi równej krótszej krawędzi prostokąta. Jeżeli prostokąt zawiera takich kwadratów a mniejszy prostokąt ma te same proporcje, co można zapisać zależnością jego krawędzi oraz

,

spełniają one podział metaliczny; złoty podział dla , srebrny podział dla , brązowy podział dla i tak dalej. Rozwiązanie tej relacji z uwagi na prowadzi do powyższego równania kwadratowego, którego pierwiastki to

,

Ponieważ zakłada się, że krawędzie prostokąta definiującego to liczby nieujemne, zwykle rozważane są jedynie dodatnie pierwiastki tego równania.

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Podziały metaliczne mają ciekawe własności. Na przykład

  1. ,
  2. ,
  3. , lub
  4. .

Gdy zmierza do nieskończoności, czynnik w pierwiastku zanika i dla dużych .

Ponadto

,

gdzie współczynniki są definiowane rekurencyjnie przez , oraz .

Ponadto dla wymiernych podziały metaliczne definiowane są przez trójki pitagorejskie[2][3].

Kąty metaliczne

[edytuj | edytuj kod]
Złoty kąt

Koncepcję podziałów metalicznych można rozszerzyć na kąty metaliczne jako

,

co dla sprowadza się do złotego kąta (137,507764°). Rozwiązanie powyższej relacji z uwagi na prowadzi do równania kwadratowego

,

którego pierwiastki to

.

W porównaniu do podziałów metalicznych, zarówno iloczyny

,

jak i sumy kątów metalicznych

,

są zależne[3] od , przy czym a .

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. M. Baake, U. Grimm (2013) Aperiodic order. Vol. 1. A mathematical invitation. With a foreword by Roger Penrose. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 149. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 978-0-521-86991-1.
  2. Chetansing Rajput, Metallic Ratios in Primitive Pythagorean Triples, t. 20, Journal of Advances in Mathematics, 2021, s. 312--344, DOI10.24297/jam.v20i.9088.
  3. a b Szymon Łukaszyk, Metallic Ratios and Angles of a Real Argument, IPI Letters, 2024, s. 26--33, DOI10.59973/ipil.55.