Przestrzeń jednospójna
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/P1S2all.jpg/143px-P1S2all.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Torus_cycles.png/141px-Torus_cycles.png)
Przestrzeń jednospójna – łukowo spójna przestrzeń topologiczna o trywialnej grupie podstawowej.
Innymi słowy jest to przestrzeń topologiczna spełniająca następujące warunkiː
- dowolne dwa punkty można połączyć drogą ( jest łukowo spójna),
- dowolną taką krzywą można przekształcić w sposób ciągły, używając tylko punktów należących do tego obiektu, w dowolną inną krzywą łączącą te punkty (każde dwie drogi łączące oraz są homotopijne).
Zbiór jednospójny – to zbiór ze strukturą topologiczną, który potraktowany jako przestrzeń topologiczna jest przestrzenią jednospójną.
Twierdzenia
[edytuj | edytuj kod]Tw. 1 Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i każdą zawartą w niej pętlę da się ściągnąć do punktu, przy czym podczas ściągania pętla musi być zawarta w przestrzeni.
Tw. 2 Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i posiada genus zero (tzn. nie ma otworów).
Zbiory z otworem lub otworami (np. torus, okrąg) nie są jednospójne właśnie ze względu na te otwory, które sprawiają, że np. równoleżnika w torusie nie można w sposób ciągły zmniejszyć do punktu[1].
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Runge_theorem.svg/141px-Runge_theorem.svg.png)
Obiekty jednospójne:
- W przestrzeni euklidesowej: odcinek, prosta, koło, kula, sfera n-wymiarowa Sn dla n ≥ 2 (np. sfera w przestrzeni trójwymiarowej).
- Przestrzeń Euklidesowa Rn.
- Gdy n > 2, to Rn bez dowolnej liczby punktów, np. bez punktu (0,0).
- Każdy podzbiór wypukły zawarty w Rn.
- Każda przestrzeń wektorowa, w tym przestrzenie Banacha i Hilberta.
- Specjalna grupa unitarna SU(n).
Wszystkie przestrzenie ściągalne są jednospójne (ponieważ każde dwa przekształcenia w przestrzeń ściągalną są homotopijne), jednak nie odwrotnie - na przykład sfera dwuwymiarowa jest jednospójna, ale nie jest ściągalna.
Obiekty niejednospójne:
- Okrąg, torus, butelka Kleina, walec eliptyczny, wstęga Möbiusa.
- Przestrzeń Euklidesowa R2 bez np. punktu (0,0).
- Dla n ≥ 2, specjalna grupa ortogonalna SO(n,R).
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Diamenty matematyki - Matematyka - Wirtualny Wszechświat. [dostęp 2009-06-15]. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-07-30)].
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 243. ISBN 83-7469-189-1.
- Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii – Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 170. ISSN 0239-6432.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Simply Connected, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-09].