Przejdź do zawartości

Złożenie relacji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Złożenie relacji dwuargumentowych – uogólnienie złożenia funkcji na dowolne relacje dwuargumentowe; sposób konstrukcji relacji dwuargumentowej z dwóch innych, a zarazem wynik tej konstrukcji. Formalnie dla zbiorów i relacji złożenie tej dwójki to zbiór zdefiniowany warunkiem[1][2]:

innymi słowy wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego zachodzi [3].

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą takimi relacjami w zbiorze że:

Wtedy odpowiednio złożeniem relacji będą:

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Jest to działanie łączne[1][4]; relacje dwuczłonowe na ustalonym zbiorze tworzą z nim półgrupę:
  • Operacja złożenia relacji nie jest przemienna,
    istnieją relacje i dla których
  • Jeśli relacje i są jednoznaczne lewostronnie (iniektywne), to złożenie relacji również jest jednoznaczne lewostronnie (iniektywne). W drugą stronę jednoznaczność lewostronna (iniektywność) pociąga jedynie jednoznaczność lewostronną (iniektywność) [potrzebny przypis].
  • Jeśli relacje i są całkowite prawostronnie (surjektywne), to złożenie relacji również jest całkowite prawostronnie (surjektywne). Odwrotnie całkowitość prawostronna (surjektywność) pociąga tylko całkowitość prawostronną (surjektywność) [potrzebny przypis].
  • Składanie relacji jest prawostronnie rozdzielne względem sumy zbiorów[1]:

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b c d publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości. Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, 3.1. Operacje na relacjach, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-08-05].
  2. Smoluk 2017 ↓, s. 34.
  3. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Composition (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-12].
  4. Smoluk 2017 ↓, s. 35.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]