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Equação de Pell

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Na matemática, mais especificamente na Teoria dos Números, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação:

Onde e são números inteiros e um número natural.

Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell, foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII.[1]

As equações de Pell-Fermat são estudadas há milênios na Índia e na Grécia. Eles tinham uma grande interesse particularmente no caso de = 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação . com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.[2]


Note que

 

Se , isto é, se é um quadrado perfeito, então

 

Como , então existe natural tal que . Assim, no primeiro caso acima, temos que

 

Assim,

 

Substituindo em uma das equações do sistema, teremos que .

Resolvendo o caso

 

Teremos e . Assim, os pares e são ditos soluções triviais.

Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas.

Os inversíveis em

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Como , então iremos usar os números da forma , números em , para resolver a equação.

Definiremos a norma da seguinte forma

 

Onde e .


Seja uma solução da equação de Pell, qualquer potência é, também, uma solução da equação de Pell.

Demonstração

Usaremos o processo de indução. Assim, note que para

Suponha que para todo , então para , temos que

Assim, fica demonstrado que qualquer potência de uma solução é, ainda, uma solução da equação de Pell.

Seja a solução fundamental da equação de Pell e a k-ésima potência de , então

 

Demonstração

Note que , logo

Comparando os termos, temos que .

Observação: note que é a solução fundamental

O grupo dos inversíveis em

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Seja a restrição,

Onde e (inversíveis em ).

Note que a norma definida dessa forma é um homomorfismo.

Agora iremos verificar que é um grupo:

  1. Associatividade: como e a operação é a multiplicação usual, garantimos a associatividade;
  2. Elemento neutro: Note que , logo, ;
  3. Inverso : Por construção, todo possui inverso.

Seja a solução fundamental da equação de Pell, então ainda será uma solução da equação, logo, gera , portanto, é um grupo cíclico, logo, abeliano. Assim,

 



Da equação de Pell, temos que , logo

 

Intuitivamente, podemos perceber que a razão nos dará boas aproximações para quando for pequeno. Matematicamente, podemos formular essa ideia como

 

Com isso, podemos usar frações continuadas para escrever o número irracional na forma

Seja a equação de Pell

 .

A solução fundamental dessa equação é o par , pois, . Assim, , então , daí

 
 

Fazendo a razão entre os coeficientes das soluções, temos que

 

Essas razões estão se aproximando de



[3] [4]

Referências

  1. «Pell Equation». Wolfram - MathWorld 
  2. Gondim, Rodrigo (2011). Aritmética em Retas e Cônicas (PDF). Sergipe: [s.n.] pp. 57 – 64. Consultado em 26 de novembro de 2019 
  3. Michel Waldschmidt (18 de fevereiro de 2016). «Pell's Equation» (PDF) 
  4. Bruce Ikenaga (2019). «The Pell-Fermat Equation» 
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