Função inversa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/Funci%C3%B3n_rec%C3%ADproca.png/300px-Funci%C3%B3n_rec%C3%ADproca.png)
Em matemática, a função inversa de uma função é, quando existe, a função tal que e (id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original (, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Bijection.svg/194px-Bijection.svg.png)
Uma função que tenha inversa diz-se invertível. Se uma função for invertível, então tem uma única inversa. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que seja bijectiva[1].
Se for uma função injectiva de em , então é também uma função bijectiva de em . Consequentemente, tem uma inversa de em . Por abuso de linguagem, também se designa esta função por inversa de , embora o seu domínio não seja, em geral, o conjunto .
A função inversa de uma função real de uma variável real
[editar | editar código-fonte]Seja uma função bijetiva definida por . Resolvendo para em função de , temos determinado uma função . Esta função é a função inversa de , i.e. .[2]
Exemplo:
Para determinarmos a inversa da função podemos proceder da seguinte forma:
- Portanto,
Inversa à direita ou à esquerda
[editar | editar código-fonte]Dadas as funções e , diremos que é função inversa à esquerda de quando a função composta (id=função identidade), ou seja, quando para todo pertencente ao conjunto A. Uma função possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva.[3] . Por exemplo, a função dada por , que é injetiva e não sobrejetiva, tem como inversa , porque a função composta para todo , a qual é a função identidade.
Dadas as funções g:B→A e f:A→B e , diremos que g é uma inversa à direita de f quando a função composta f O g = idB:B→B, ou seja, quando f(g(x)) = x para todo y pertencente ao conjunto B. Uma função f possui inversa à direita se, e somente se, for sobrejetiva.[3]