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Métrica interior de Schwarzschild

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Na teoria da relatividade geral de Einstein, a métrica de Schwarzschild interior (também solução de Schwarzschild interior ou solução de fluido de Schwarzschild) é uma solução exata para o campo gravitacional no interior de um corpo esférico não rotativo que consiste em um fluido incompressível (implicando que a densidade é constante em todo o corpo) e tem pressão zero na superfície. Esta é uma solução estática, o que significa que não muda com o tempo. Foi descoberto por Karl Schwarzschild em 1916, que antes havia encontrado a métrica Schwarzschild externa.[1]

Coordenadas esféricas

A métrica Schwarzschild interna é enquadrada em um sistema de coordenadas esféricas com o centro do corpo localizado na origem, mais a coordenada de tempo. Seu elemento de linha é[2][3]

onde

  • é o tempo adequado (tempo medido por um relógio que se move ao longo da mesma linha de mundo com a partícula de teste).
  • é a velocidade da luz.
  • é a coordenada de tempo (medida por um relógio estacionário localizado infinitamente longe do corpo esférico).
  • é a coordenada radial de Schwarzschild. Cada superfície de constante e tem a geometria de uma esfera com circunferência mensurável (adequada) e área (como pelas fórmulas usuais), mas a deformação do espaço significa que a distância adequada de cada concha ao centro do corpo é maior do que .
  • é a colatitude (ângulo do norte, em unidades de radianos).
  • é a longitude (também em radianos).
  • é o raio de Schwarzschild do corpo, que está relacionado à sua massa por , onde é a constante gravitacional. (Para estrelas e planetas comuns, isso é muito menor do que seu raio adequado.)
  • é o valor do -coordenar na superfície do corpo. (Isso é menor do que seu raio adequado (interior mensurável), embora para a Terra a diferença seja de apenas cerca de 1,4 milímetros.)

Esta solução é válida para . Para obter uma métrica completa do campo gravitacional da esfera, a métrica interna de Schwarzschild deve ser combinada com a externa,

na superfície. Pode ser facilmente visto que os dois têm o mesmo valor na superfície, ou seja, em .

Outras formulações

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Definindo um parâmetro

, we get

Também podemos definir uma coordenada radial alternativa e um parâmetro correspondente , produzindo[4]

Referências

  1. «Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie – Wikisource». de.wikisource.org (em alemão). Consultado em 8 de julho de 2021 
  2. Karl Schwarzschild (1916). «Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie» [On the gravitational field of a ball of incompressible fluid following Einstein's theory]. Berlin. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften (em alemão): 424–434 
  3. Torsten Fließbach (2003). Allgemeine Relativitätstheorie [General Theory of Relativity] (em alemão) 4th ed. [S.l.]: Spektrum Akademischer Verlag. pp. 231–241. ISBN 3-8274-1356-7 
  4. R. Burghardt (2009). «Interior Schwarzschild Solution and Free Fall» (PDF). Austrian Reports on Gravitation 
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