În teoria algebrică a inelelor și a corpurilor, caracteristica este un număr caracteristic unui inel sau corp care arată de câte ori trebuie adunat elementul neutru multiplicativ pentru a se obține elementul neutru aditiv.
Dacă acest lucru nu este posibil, se va considera că această caracteristică are valoarea zero.
Se consideră un inel unitar nenul notat
.
Dacă elementul 1 are ordinul infinit în grupul
se spune că A este un inel de caracteristică 0 și se scrie
Deci:
-
Dacă ordinul lui 1 în grupul
este p, se spune că inelul A are caracteristică p și se scrie
Acest lucru revine la a spune că p este cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că
De exemplu, inelul întregilor este un inel de caracteristică 0, pe când
este inel de caracteristică 3.
Observație.
Dacă inelul
este domeniu de integritate de caracteristică p, atunci p este număr prim.
Într-adevăr, dacă p nu ar fi prim, atunci de poate scrie
cu
numere naturale mai mici decât p și diferite de 1 și p.
Cum
iar
obținem că
și cum A este domeniu de integritate, se deduce că
sau
contradicând minimalitatea lui p cu proprietatea că
Caracteristica unui corp
este zero dacă acest corp conține un corp izomorf cu corpul
al numerelor raționale, iar în caz contrar este numărul prim] p, pentru care:
![{\displaystyle {\underset {de\;p\;ori}{\underbrace {e+e+\cdots +e} }}=0,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf4e09f28b04048c373978615cd5eca81ab356e)
unde e este elementul neutru pentru operația de înmulțire din
Caracteristica unui corp
se determină astfel:
se consideră omomorfismul de inele
definit prin:
deci
și
![{\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\underset {de\;n\;ori}{\underbrace {e+e+\cdots +e} }},&pentru\;n>0\\{\underset {de\;-n\;ori}{\underbrace {-e-e-\cdots -e} }},&pentru\;n<0\end{cases}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695cb9af0f8a0283d0f012a1441cdcf4b128f7f0)
și nucleul său, care fiind un subgrup în
are forma
cu p întreg pozitiv.
Dacă
atunci
deci
are caracteristica zero.
Dacă
atunci p este un număr prim și caracteristica lui
este p.