Асимптотический анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.

Например, в функции при стремлении к бесконечности слагаемое становится пренебрежимо малым по сравнению с , поэтому про функцию говорят, что она «асимптотически эквивалентна при », что зачастую также записывают как . Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны , тогда теорема может быть сформулирована как .

Асимптотическое равенство

[править | править код]

Пусть и  — некоторые функции. Тогда бинарное отношение определяется таким образом, что

если и только если[1]

Функции и при этом называются асимптотически эквивалентными, так как является отношением эквивалентности для функций над . Областью определения и при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на , таких как . Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.

Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если принимает значение бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:

Данное определение эквивалентно приведённому выше если отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки[2][3].

Если и , то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:

  • , для любого вещественного

Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул

[править | править код]
  • Количество способов разбить натуральное число в неупорядоченную сумму натуральных чисел
  • Функция Эйри  — решение дифференциального уравнения

Асимптотическое разложение

[править | править код]

Асимптотическим разложением функции называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку . Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста . Другими словами, если  — асимптотическое разложение , то и, в общем случае, для любого . В соответствии с определением это значит, что , то есть, растёт асимптотически значительно медленнее

Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.

Примеры асимптотических разложений

[править | править код]
где (2n − 1)!! — двойной факториал.

Применения

[править | править код]

Асимптотический анализ используется:

Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мира[4]. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.

Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала) или распределений вероятности (ряд Эджворта). Примером расходящегося асимптотического разложения являются графы Фейнмана в квантовой теории поля.

Примечания

[править | править код]
  1. (de Bruijn 1981, §1.4)
  2. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Asymptotic equality", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  3. Estrada & Kanwal (2002, §1.2)
  4. Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Архивная копия от 22 июля 2021 на Wayback Machine, Cambridge University Press

Литература

[править | править код]