Теорема Мура о факторпространстве
Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.
Доказана Робертом Муром в 1925 году.
Формулировки
[править | править код]Пусть — сюръективное непрерывное отображение двумерной сферы на хаусдорфово пространство . Предположим, что для любой точки прообраз , а также его дополнение связны. Тогда гомеоморфно , более того отображение есть предел гомеоморфизмов .
Замечания
[править | править код]Эквивалентная формулировка теоремы даётся на языке отношения эквивалентности на . Отображение задаёт отношение эквивалентности на , определяемое как
Классы эквивалентности образуют полунепрерывное семейство замкнутых множеств. То есть, если , и для любого , тогда .
- Если — отношение эквивалентности на с полунепрерывными замкнутыми классами эквивалентности такими и для любого множества и связны, то фактор пространство гомеоморфно .
Вариации и обобщения
[править | править код]В старших размерностях необходимым для существования близкого гомеоморфизма, сюръекция из многообразия на хаусдорфово пространство должна быть клеточной. Это означает, что для любой точки и любого открытого множества , содержащего прообраз , можно найти замкнутое множество , гомеоморфное шару, такое что .
Литература
[править | править код]- R. L. Moore. Concerning upper-semicontinuous collections of continua (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1925. — Vol. 25. — P. 416–428.
- Daverman, Robert J. Decompositions of manifolds. — Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. — xii+317 с. — (Pure and Applied Mathematics, 124). — ISBN 978-0-8218-4372-7.