Хаусдорфово пространство
Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2.
Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.
Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.
Определение
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Hausdorff_space.svg/200px-Hausdorff_space.svg.png)
Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две различные точки , из обладают непересекающимися окрестностями , .
Примеры и контрпримеры
[править | править код]Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства , многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как или , .
Если топологическая группа является T0-пространством, то она хаусдорфова. Если T0 не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство[1]. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.
Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.
Свойства
[править | править код]- Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
- Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали в декартовом квадрате пространства .
- В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
- Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
- Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
- Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
- Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
- Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.
Примечания
[править | править код]- ↑ D. Ramakrishnan and R. Valenza. Fourier Analysis on Number Fields. — Springer-Verlag, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics).
Литература
[править | править код]- Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — 2-е, стереотипное. — М.: Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-0981-5.
Для улучшения этой статьи желательно:
|