Пређи на садржај

Множење

С Википедије, слободне енциклопедије
3 · 4 = 12, па 12 куглица може бити сложено као 3 врсте по 4 (или 4 колоне по 3) куглице

Множење је бинарна операција у математици. Записује се као a · b или a × b. Операнди a и b се називају чиниоци (фактори), а резултат множења производ.[1]

Ако је један операнд природан број, онда множење представља скраћени запис сабирања. Нпр, ако је n ∈ ℕ, онда је

У алгебри се ознака за множење подразумева и може се прескочити, па се 3 · a · b може записати и као 3 a b[2]

На пример, 4 помножено са 3, често написано као и изговорено као „3 пута 4”, може се израчунати додавањем 3 копије од 4 заједно:

Овде су 3 (множилац) и 4 (множеник) чиниоци, а 12 је производ.

Једно од главних својстава множења је комутативно својство, које у овом случају наводи да сабирање 3 копије од 4 даје исти резултат као додавање 4 копије од 3:

Систематске генерализације ове основне дефиниције дефинишу множење целих бројева (укључујући негативне бројеве), рационалних (разломака) и реалних бројева.

Множење се такође може визуализовати као бројање објеката распоређених у правоугаоник (за целе бројеве) или као проналажење површине правоугаоника чије странице имају неке дате дужине. Површина правоугаоника не зависи од тога која се страница прва мери — последица комутативног својства.

Производ два мерења је нова врста мерења. На пример, множењем дужина две стране правоугаоника добија се његова површина. Такав производ је предмет димензионалне анализе.[3][4][5]

Инверзна операција множењу је дељење.[6] На пример, пошто је 4 помножено са 3 једнако 12, 12 подељено са 3 је једнако 4.

Множење бројева

[уреди | уреди извор]

Множење има приоритет над сабирањем. Множење бројева има следеће особине (за множење других објеката погледати ниже у тексту):

1. (неутрал)
2. (сваки број помножен нулом једнак је нули)
3. (асоцијативност)
4. комутативност
5. дистрибутивност множења према сабирању
  1. На скупу рационалних, реалних и комплексних бројева, сваки број осим нуле има тачно један инверзан број, такав да је њихов производ јединица:

Инверзан број броја се записује као . Инверзан број инверзног броја је полазни број:

Множење целих бројева

[уреди | уреди извор]

Приликом множења целих бројева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат је позитиван. Производ позитивног и негативног броја је негативан.

Рационални чиниоци

[уреди | уреди извор]

Производ рационалних бројева је рационалан број коме је бројилац производ бројилаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:

Ирационални чиниоци

[уреди | уреди извор]

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број, тада је производ a · b гранична вредност

где је рационалан број и представља приближну вредност броја b.

Множење комплексних бројева

[уреди | уреди извор]

Сваки комплексан број z можемо записати као уређени пар или у тригонометријском (поларном) запису:

.

Како је , формула за множење у алгебарском запису гласи

.

Из тригонометријских једначина следи формула за множење комплексних бројева у тригонометријском облику:

Множење вектора

[уреди | уреди извор]

Постоји неколико врста множења вектора: множење вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са „·“, а векторски са „×“.

Посматрајмо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: .

Множење вектора скаларом

[уреди | уреди извор]

Вектор се множи скаларом тако што се свака његова координата помножи скаларом. Ова операција је комутативна.

Скаларни производ

[уреди | уреди извор]

Скаларни производ вектора је скалар једнак суми производа одговарајућих координата:

Скаларни производ је комутативан.

Векторски производ

[уреди | уреди извор]
Векторски производ.

Векторски производ вектора је нови вектор, чији је интензитет једнак површини паралелограма који вектори-чиниоци заклапају, правац му је нормалан на раван коју вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенције. Овај производ је специфичан за , и антикомутативан је.[7] Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:[8][9][10]

где су и ортови дуж x, y и z осе.

Мешовити производ

[уреди | уреди извор]
Запремина паралелепипеда који дефинишу 3 вектора једнака је њиховом мешовитом производу.

Мешовити производ три вектора је скалар који је једнак запремини паралелопипеда који ти вектори заклапају. Записује се као [a, b, c] и по дефиницији је:

Множење матрица

[уреди | уреди извор]

Нека су дате матрице А и B величине mА×nА и mB×nB. Производ AB је дефинисан ако је nА = mB, а добијена матрица има димензије mА×nB. Елементи матрице-производа су

Множење матрица није комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на један начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи неће имати исту величину (5×5 на један и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су такође исте величине, и може се дефинисати комутатор:[11][12]

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Devlin, Keith (јануар 2011). „What Exactly is Multiplication?”. Mathematical Association of America. Приступљено 14. 5. 2017. „With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first) 
  2. ^ Khan Academy (14. 8. 2015), Intro to multiplication | Multiplication and division | Arithmetic | Khan Academy, Приступљено 7. 3. 2017 
  3. ^ Fourier, Joseph (1822), Theorie analytique de la chaleur (на језику: француски), Paris: Firmin Didot 
  4. ^ BIPM (2019). „2.3.3 Dimensions of quantities”. SI Brochure: The International System of Units (SI) (PDF) (на језику: енглески и француски) (v. 1.08, 9th изд.). стр. 136—137. ISBN 978-92-822-2272-0. Приступљено 1. 9. 2021. 
  5. ^ Buckingham, Edgar (1914), „On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis”, Physical Review, 4 (4): 345—376, Bibcode:1914PhRv....4..345B, doi:10.1103/PhysRev.4.345, hdl:10338.dmlcz/101743Слободан приступ 
  6. ^ Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (на језику: енглески). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. Архивирано из оригинала 2021-02-21. г. Приступљено 2020-10-15. 
  7. ^ Bourbaki, Nicolas (1989), „Chapter III. Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras”, Algebra. Chapters 1–3, Elements of Mathematics (2nd printing изд.), Berlin-Heidelberg-New York City: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982, Zbl 0904.00001 
  8. ^ „Determinants and Volumes”. textbooks.math.gatech.edu. Приступљено 16. 3. 2018. 
  9. ^ Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th изд.), Wiley International 
  10. ^ Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd изд.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
  11. ^ Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
  12. ^ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum MechanicsНеопходна слободна регистрација (2nd изд.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X 

Литература

[уреди | уреди извор]

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]