İçeriğe atla

Laplace dönüşümü

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematikte, Laplace dönüşümü, zaman tanım kümesinde tanımlı bir fonksiyonu, frekans tanım kümesinde tanımlı bir başka fonksiyona dönüştürmek amacıyla kullanılır.

Laplace dönüşümü ile diferansiyel denklemler çözmesi daha kolay polinomlara dönüştüğü için, zamandan bağımsız doğrusal sistemlerin modellenmesinde ve diferansiyel denklemlerin çözülmesinde, başlangıç değer teoremi, son değer teoremi ve sınır değer problemi gibi çeşitli problemlerde, olasılık teorisinde ve ilgili fonksiyonun frekans karakteristiğini net bir şekilde göstermesinden dolayı sinyal işlemede de kullanılır.

İsim babası, bu yöntemi geliştiren Pierre-Simon Laplace'tır.

Verilen bir f(t) fonksiyonunun (tüm t ≥ 0 reel sayıları için tanımlı) Laplace dönüşümü F(s) matematiksel olarak şöyle gösterilir:

Özellikler ve teoremler

[değiştir | kaynağı değiştir]

Laplace dönüşümü doğrusal dinamik sistemlerin incelenmesini kolaylaştıran bazı özelliklere sahiptir. En önemli özelliği, türevi ile çarpıma, integrali ile bölmeye dönüştürmesidir. Yani, diferansiyel denklemleri, çözmesi daha kolay olan polinomlara dönüştürür. Denklem çözüldükten sonra ters Laplace dönüşümü ile zaman tanım kümesine tekrar dönülebilir.

Verilen f(t) ve g(t) fonksiyonları ve bunların Laplace dönüşümleri F(s) ve G(s) için

aşağıdaki tablo tek yanlı Laplace dönüşümünün özelliklerinin bir listesidir:[1]

Tek yanlı Laplace dönüşümünün özellikleri
Zaman tanım Frekans tanım Yorum
Doğrusallık İntegralin temel kurallarıyla kanıtlanabilir.
Frekans Türevlemesi
Genel Frekans Türevlemesi Genel olarak
Türevleme İntegralin açık hali yazılıp, bu integralde kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak bulunabilir.
İkinci Türevleme fonksiyonuna Türevleme özelliği uygulanır.
Genel Türevleme İkinci türevle ilgili sonuçtan tümevarımla bulunmuştur.
Frekans Entegrasyonu
Entegrasyon Heaviside adım fonksiyonudur.
Ölçekleme
Frekans öteleme
Zaman öteleme Heaviside adım fonksiyonudur.
Sarılım (Konvülsiyon)
Periyodik Fonksiyon bir periyodik fonksiyon periyot şöyle ki
  • Başlangıç değer teoremi:
  • Son değer teoremi:
, Paydanın kökleri sol taraf düzlemindedir.
son değer teoremi bir fonksiyonun uzun dönem davranışını basit kesirlere ayırma veya diğer zorlu cebir işlemler uygulamaksızın verdiği için yararlıdır. Eğer bir fonksiyonun kökleri sağ taraf düzlemindeyse (örn. or ) bu formülün davranışı tanımsızdır.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ Korn & Korn 1967, ss. 226–227
  • Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, 2nd, McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1