Деформація пластини, яка показує переміщення серединної поверхні (червоне) і нормалі до цієї серединної поверхні (синє)
Теорія пластин Міндліна–Рейсснера являє собою розширенням теорії пластин Кірхгофа–Лява , яка враховує зсувні напруження та деформації по товщині пластини. Дана теорія була запропонована в 1951 році Раймондом Міндліном.[1] Аналогічна, але не ідентична, теорія була запропоновані раніше Еріком Рейснером в 1945 році.[2] Обидві теорії вивчають товсті пластини, в яких нормаль до серединної поверхні залишається прямою, але не обов'язково перпендикулярно до неї.Теорія Міндліна–Рейсснера використовується для розрахунку деформацій і напружень у пластині, чия товщина становить близько однієї десятої вимірюваної площі, в той час, як теорія Кірхгофа-Лява застосовується для більш тонких пластин.
Хотя і теорія називається на честь двох вчених, все-таки більш правильно її називати теорія пластин Міндліна.[3] Теорія Рейснера трохи відрізняється від неї. Обидві теорії включають в площині зсув напруг, і обидві є розширенням теорії пластин Кірхгофа-Лява.
Теорія Міндліна передбачає, що існує лінійна зміна зміщень по товщині пластини, але сама товщина пластини не змінюється при деформації. Додаткове припущення полягає в тому, що нормальне напруження по товщині ігнорується; це припущення також називається плоский напружений стан. З іншого боку, теорія Рейсснера припускає, що напруження при згині лінійні, а зсувні напруження квадратичні по товщину плити. Це призводить до ситуації, коли зсув по товщині не обов'язково лінійний і товщина пластини може змінюватися в процесі деформації.
Теорія Міндліна була спочатку отримана для ізотропних пластин, використовуючи рівноважні міркування. Більш загальний варіант теорії, створений на енергетичних міркуваннях, обговорюється тут.[4]
Гіпотеза Міндліна каже, що зміщення в пластині мають вигляд
u
α
(
x
)
=
u
α
0
(
x
1
,
x
2
)
−
x
3
φ
α
;
α
=
1
,
2
u
3
(
x
)
=
w
0
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
де
x
1
{\displaystyle x_{1}}
і
x
2
{\displaystyle x_{2}}
є декартовими координатами на серединній поверхні недеформованої пластини і
x
3
{\displaystyle x_{3}}
є координатою напрямку товщини,
u
α
0
,
α
=
1
,
2
{\displaystyle u_{\alpha }^{0},~\alpha =1,2}
— переміщення на площині серединної поверхні,
w
0
{\displaystyle w^{0}}
— переміщення серединної поверхні в напрямку
x
3
{\displaystyle x_{3}}
,
φ
1
{\displaystyle \varphi _{1}}
і
φ
2
{\displaystyle \varphi _{2}}
— кути, які утворює нормаль до серединної поверхні до осі
x
3
{\displaystyle x_{3}}
. На відміну від теорії Кірхгофа-Лява, де
φ
α
{\displaystyle \varphi _{\alpha }}
є прямо пов'язана з
w
0
{\displaystyle w^{0}}
, теорія Міндіна вимагає, щоб
φ
1
≠
w
,
1
0
{\displaystyle \varphi _{1}\neq w_{,1}^{0}}
і
φ
2
≠
w
,
2
0
{\displaystyle \varphi _{2}\neq w_{,2}^{0}}
.
Переміщення серединної поверхні (ліворуч) і нормалі (праворуч)
Співвідношення між деформаціями і переміщеннями[ ред. | ред. код ]
В залежності від обертання нормалей пластини, можна отримати дві різні апроксимації для напруження з основних кінематичних припущень.
Для малих напружень і поворотів, співвідношення між деформаціями і переміщеннями для пластин Міндліна–Рейсснера мають вигляд:
ε
α
β
=
1
2
(
u
α
,
β
0
+
u
β
,
α
0
)
−
x
3
2
(
φ
α
,
β
+
φ
β
,
α
)
ε
α
3
=
1
2
(
w
,
α
0
−
φ
α
)
ε
33
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
Деформація зсуву , а отже, і напруга зсуву по товщині пластини не нехтуються в цій теорії. Однак деформації зсуву є константою по всій товщині плити. Вони не є точними, так як напруга зсуву вважається параболічного навіть для пластини з простою геометрією. Для обрахунку похибки в деформації зсуву застосовується корекційний коефіцієнт зсуву (
κ
{\displaystyle \kappa }
) так, що правильна кількість внутрішньої енергії і передбачається теорією. Тоді
ε
α
3
=
1
2
κ
(
w
,
α
0
−
φ
α
)
{\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)}
Рівняння рівноваги для пластин Міндліна–Рейсснера для малих деформацій і обертань мають вигляд
N
α
β
,
α
=
0
M
α
β
,
β
−
Q
α
=
0
Q
α
,
α
+
q
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}
Напруження в площині визначаються як
N
α
β
:=
∫
−
h
h
σ
α
β
d
x
3
,
{\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,,}
рівнодіючий момент визначається як
M
α
β
:=
∫
−
h
h
x
3
σ
α
β
d
x
3
,
{\displaystyle M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,,}
і рівнодіюий зсув визначається як
Q
α
:=
κ
∫
−
h
h
σ
α
3
d
x
3
.
{\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.}
Моменти згинів і нормальні напруження
Обертальні моменти і дотичні напруження
Рівнодіюча зсуву і дотичні напруження
Граничні умови позначаються граничними термінами з принципу можливих переміщень.
Якщо єдиною зовнішньою силою є вертикальна сила на верхній поверхні пластини, то граничні умови мають вигляд
n
α
N
α
β
o
r
u
β
0
n
α
M
α
β
o
r
φ
α
n
α
Q
α
o
r
w
0
{\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}}
Співвідношення між напруженням та деформацією[ ред. | ред. код ]
Співвідношення між напруженням та деформацією для лінійних пружних пластин Міндліна–Рейсснера плити дають наступне
σ
α
β
=
C
α
β
γ
θ
ε
γ
θ
σ
α
3
=
C
α
3
γ
θ
ε
γ
θ
σ
33
=
C
33
γ
θ
ε
γ
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}
Так
σ
33
{\displaystyle \sigma _{33}}
не з'являється у рівнянь рівноваги, вважається, що воно не має ніякого впливу і ним нехтується. Інші співвідношення напруження–деформації для ортотропного матеріалу може бути записано у матричній формі у вигляді
[
σ
11
σ
22
σ
23
σ
31
σ
12
]
=
[
C
11
C
12
0
0
0
C
12
C
22
0
0
0
0
0
C
44
0
0
0
0
0
C
55
0
0
0
0
0
C
66
]
[
ε
11
ε
22
ε
23
ε
31
ε
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
Тоді,
[
N
11
N
22
N
12
]
=
∫
−
h
h
[
C
11
C
12
0
C
12
C
22
0
0
0
C
66
]
[
ε
11
ε
22
ε
12
]
d
x
3
=
{
∫
−
h
h
[
C
11
C
12
0
C
12
C
22
0
0
0
C
66
]
d
x
3
}
[
u
1
,
1
0
u
2
,
2
0
1
2
(
u
1
,
2
0
+
u
2
,
1
0
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}
і
[
M
11
M
22
M
12
]
=
∫
−
h
h
x
3
[
C
11
C
12
0
C
12
C
22
0
0
0
C
66
]
[
ε
11
ε
22
ε
12
]
d
x
3
=
−
{
∫
−
h
h
x
3
2
[
C
11
C
12
0
C
12
C
22
0
0
0
C
66
]
d
x
3
}
[
φ
1
,
1
φ
2
,
2
1
2
(
φ
1
,
2
+
φ
2
,
1
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}}
Для умов зсуву
[
Q
1
Q
2
]
=
κ
∫
−
h
h
[
C
55
0
0
C
44
]
[
ε
31
ε
32
]
d
x
3
=
κ
2
{
∫
−
h
h
[
C
55
0
0
C
44
]
d
x
3
}
[
w
,
1
0
−
φ
1
w
,
2
0
−
φ
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa ~\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{32}\end{bmatrix}}dx_{3}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}}
Поздовжня жорсткість має такий вигляд
A
α
β
:=
∫
−
h
h
C
α
β
d
x
3
{\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}
Жорсткість при згині має такий вигляд
D
α
β
:=
∫
−
h
h
x
3
2
C
α
β
d
x
3
.
{\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}\,.}
Для рівномірної, однорідної і ізотропної пластини, співвідношення між напруженням та деформацією у площині пластини має вигляд
[
σ
11
σ
22
σ
12
]
=
E
1
−
ν
2
[
1
ν
0
ν
1
0
0
0
1
−
ν
]
[
ε
11
ε
22
ε
12
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}
де
E
{\displaystyle E}
— модуль Юнга,
ν
{\displaystyle \nu }
— коефіцієнт Пуассона і
ε
α
β
{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}
— площинна деформація. Напруження і деформація пов'язані через зсув по товщині таким чином
σ
31
=
2
G
ε
31
and
σ
32
=
2
G
ε
32
{\displaystyle \sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}}
де
G
=
E
/
(
2
(
1
+
ν
)
)
{\displaystyle G=E/(2(1+\nu ))}
— модуль зсуву .
Співвідношення між рівнодіючою напруження та узагальною деформацією має такий вигляд
[
N
11
N
22
N
12
]
=
2
E
h
1
−
ν
2
[
1
ν
0
ν
1
0
0
0
1
−
ν
]
[
u
1
,
1
0
u
2
,
2
0
1
2
(
u
1
,
2
0
+
u
2
,
1
0
)
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,}
[
M
11
M
22
M
12
]
=
−
2
E
h
3
3
(
1
−
ν
2
)
[
1
ν
0
ν
1
0
0
0
1
−
ν
]
[
φ
1
,
1
φ
2
,
2
1
2
(
φ
1
,
2
+
φ
2
,
1
)
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,}
і
[
Q
1
Q
2
]
=
κ
G
2
h
[
w
,
1
0
−
φ
1
w
,
2
0
−
φ
2
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa G2h{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.}
Жорсткість при згині має такий вигляд
D
=
2
E
h
3
3
(
1
−
ν
2
)
.
{\displaystyle D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}
Для пластини товщини
h
{\displaystyle h}
на жорсткість при вигині має вигляд
D
=
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
.
{\displaystyle D={\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.}
Якщо відкинути розширення плити в площині, визначальні рівняння матимуть вигляд
M
α
β
,
β
−
Q
α
=
0
Q
α
,
α
+
q
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}}
З точки зору узагальнених деформацій, ці рівняння можна записати у вигляді
∇
2
(
∂
φ
1
∂
x
1
+
∂
φ
2
∂
x
2
)
=
−
q
D
∇
2
w
0
−
∂
φ
1
∂
x
1
−
∂
φ
2
∂
x
2
=
−
q
κ
G
h
∇
2
(
∂
φ
1
∂
x
2
−
∂
φ
2
∂
x
1
)
=
−
2
κ
G
h
D
(
1
−
ν
)
(
∂
φ
1
∂
x
2
−
∂
φ
2
∂
x
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}}
Граничні умови по краях прямокутної пластини мають вигляд
simply supported
w
0
=
0
,
M
11
=
0
(
or
M
22
=
0
)
,
φ
1
=
0
(
or
φ
2
=
0
)
clamped
w
0
=
0
,
φ
1
=
0
,
φ
2
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}}
Канонічний зв'язок для теорії зсувного деформування ізотропної
плити може бути виражений як[5] [6]
M
11
=
D
[
A
(
∂
φ
1
∂
x
1
+
ν
∂
φ
2
∂
x
2
)
−
(
1
−
A
)
(
∂
2
w
0
∂
x
1
2
+
ν
∂
2
w
0
∂
x
2
2
)
]
+
q
1
−
ν
B
M
22
=
D
[
A
(
∂
φ
2
∂
x
2
+
ν
∂
φ
1
∂
x
1
)
−
(
1
−
A
)
(
∂
2
w
0
∂
x
2
2
+
ν
∂
2
w
0
∂
x
1
2
)
]
+
q
1
−
ν
B
M
12
=
D
(
1
−
ν
)
2
[
A
(
∂
φ
1
∂
x
2
+
∂
φ
2
∂
x
1
)
−
2
(
1
−
A
)
∂
2
w
0
∂
x
1
∂
x
2
]
Q
1
=
A
κ
G
h
(
φ
1
+
∂
w
0
∂
x
1
)
Q
2
=
A
κ
G
h
(
φ
2
+
∂
w
0
∂
x
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+\nu {\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]+{\frac {q}{1-\nu }}\,{\mathcal {B}}\\M_{22}&=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}+\nu {\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\right]+{\frac {q}{1-\nu }}\,{\mathcal {B}}\\M_{12}&={\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)-2(1-{\mathcal {A}})\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right]\\Q_{1}&={\mathcal {A}}\kappa Gh\left(\varphi _{1}+{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{1}}}\right)\\Q_{2}&={\mathcal {A}}\kappa Gh\left(\varphi _{2}+{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{2}}}\right)\,.\end{aligned}}}
Зауважимо що товщина пластини має значення
h
{\displaystyle h}
(а не
2
h
{\displaystyle 2h}
) в наведених вище рівняннях і
D
=
E
h
3
/
[
12
(
1
−
ν
2
)
]
{\displaystyle D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]}
. Якщо визначаємо момент Маркуса ,
M
=
D
[
A
(
∂
φ
1
∂
x
1
+
∂
φ
2
∂
x
2
)
−
(
1
−
A
)
∇
2
w
0
]
+
2
q
1
−
ν
2
B
{\displaystyle {\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w^{0}\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}}
ми можемо виразити рівнодіючу зсуву як
Q
1
=
∂
M
∂
x
1
+
D
(
1
−
ν
)
2
[
A
∂
∂
x
2
(
∂
φ
1
∂
x
2
−
∂
φ
2
∂
x
1
)
]
−
B
1
+
ν
∂
q
∂
x
1
Q
2
=
∂
M
∂
x
2
−
D
(
1
−
ν
)
2
[
A
∂
∂
x
1
(
∂
φ
1
∂
x
2
−
∂
φ
2
∂
x
1
)
]
−
B
1
+
ν
∂
q
∂
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}&={\frac {\partial {\mathcal {M}}}{\partial x_{1}}}+{\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\right]-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}{\frac {\partial q}{\partial x_{1}}}\\Q_{2}&={\frac {\partial {\mathcal {M}}}{\partial x_{2}}}-{\frac {D(1-\nu )}{2}}\left[{\mathcal {A}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\right]-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}{\frac {\partial q}{\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}}
Поєднуючи вище наведені співвідношення та визначальні рівняння, запишемо рівняння рівноваги для узагальнених переміщень у наступному вигляді
∇
2
(
M
−
B
1
+
ν
q
)
=
−
q
κ
G
h
(
∇
2
w
0
+
M
D
)
=
−
(
1
−
B
c
2
1
+
ν
)
q
∇
2
(
∂
φ
1
∂
x
2
−
∂
φ
2
∂
x
1
)
=
c
2
(
∂
φ
1
∂
x
2
−
∂
φ
2
∂
x
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w^{0}+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}}
де
c
2
=
2
κ
G
h
D
(
1
−
ν
)
.
{\displaystyle c^{2}={\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\,.}
У теорії Міндліна,
w
0
{\displaystyle w^{0}}
— це поперечне переміщення серединної поверхні пластини та величини
φ
1
{\displaystyle \varphi _{1}}
і
φ
2
{\displaystyle \varphi _{2}}
є обертаннями нормалі на серединній поверхні відносно осей
x
2
{\displaystyle x_{2}}
і
x
1
{\displaystyle x_{1}}
відповідно. Канонічними параметрами цієї теорії є
A
=
1
{\displaystyle {\mathcal {A}}=1}
і
B
=
0
{\displaystyle {\mathcal {B}}=0}
. Корекційний коефіцієнт зсуву
κ
{\displaystyle \kappa }
зазвичай має значення
5
/
6
{\displaystyle 5/6}
.
З іншого боку, у теорії Рейсснера,
w
0
{\displaystyle w^{0}}
— середньозважений поперечний прогин, а
φ
1
{\displaystyle \varphi _{1}}
і
φ
2
{\displaystyle \varphi _{2}}
еквівалентні обороти, які не ідентичні з теорією Міндліна.
Якщо ми визначимо момент сум у теорії Кірхгофа-Лява таким чином
M
K
:=
−
D
∇
2
w
K
{\displaystyle {\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}}
то ми можемо показати, що
M
=
M
K
+
B
1
+
ν
q
+
D
∇
2
Φ
{\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi }
де
Φ
{\displaystyle \Phi }
— бігармонічна функція, така, що
∇
2
∇
2
Φ
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0}
. Ми можемо також
показути, що, якщо
w
K
{\displaystyle w^{K}}
— зміщення, яке передбачається для пластин Кірхгофа-Лява, то
w
0
=
w
K
+
M
K
κ
G
h
(
1
−
B
c
2
2
)
−
Φ
+
Ψ
{\displaystyle w^{0}=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi }
де
Ψ
{\displaystyle \Psi }
— функція, яка задовольняє рівняння Лапласа
∇
2
Ψ
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =0}
. Повороти нормалі пов'язані з переміщенням пластин Кірхгофа-Лява таким чином
φ
1
=
−
∂
w
K
∂
x
1
−
1
κ
G
h
(
1
−
1
A
−
B
c
2
2
)
Q
1
K
+
∂
∂
x
1
(
D
κ
G
h
A
∇
2
Φ
+
Φ
−
Ψ
)
+
1
c
2
∂
Ω
∂
x
2
φ
2
=
−
∂
w
K
∂
x
2
−
1
κ
G
h
(
1
−
1
A
−
B
c
2
2
)
Q
2
K
+
∂
∂
x
2
(
D
κ
G
h
A
∇
2
Φ
+
Φ
−
Ψ
)
+
1
c
2
∂
Ω
∂
x
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}}
де
Q
1
K
=
−
D
∂
∂
x
1
(
∇
2
w
K
)
,
Q
2
K
=
−
D
∂
∂
x
2
(
∇
2
w
K
)
,
Ω
:=
∂
φ
1
∂
x
2
−
∂
φ
2
∂
x
1
.
{\displaystyle Q_{1}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~\Omega :={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\,.}
↑ R. D. Mindlin, 1951, Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates , ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 18 pp. 31–38.
↑ E. Reissner, 1945, The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates , ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 12, pp. A68-77.
↑ Wang, C. M., Lim, G. T., Reddy, J. N, Lee, K. H., 2001, Relationships between bending solutions of Reissner and Mindlin plate theories, Engineering Structures, vol. 23, pp. 838-849.
↑ Reddy, J. N., 1999, Theory and analysis of elastic plates, Taylor and Francis, Philadelphia.
↑ Lim, G. T. and Reddy, J. N., 2003, On canonical bending relationships for plates , International Journal of Solids and Structures, vol. 40, pp. 3039-3067.
↑ Ці рівняння використовувати трохи інший підписати Конвенцію, ніж
попереднього обговорення.
Божидарник В.В., Сулим Г.Т. Елементи теорії пластичності та міцності. Львів: Світ, 1999. 945 с.