Arifmetik progressiya

Arifmetik progressiya — ikkinchisidan boshlab har bir son oʻzidan oldingi songa shu qator uchun oʻzgarmas bir son d (progressiya ayirmasi)ni qoʻshishdan hosil boʻladigan sonlar qatori.

Arifmetik progressiyaning har qanday hadi uning birinchi hadiga teng bo'lib, progressiyaning ayirmasi va aniqlanayotganidan oldingi hadlar sonining ko'paytmasiga qo'shiladi, ya'ni  formula bilan ifodalanadi :

Arifmetik progressiya monotonik ketma-ketlikdir . Agar arifmetik progressiyaning har bir hadi oldingisidan katta bo'lsa, bunday progressiya ortib boruvchi deyiladi ; agar avvalgisidan kamroq bo'lsa, u holda kamayadi .

Farqi noldan katta boʻlgan arifmetik progressiya (d>0), ortib bormoqda. Farqi noldan kichik boʻlgan arifmetik progressiya (d<0), kamayib bormoqda. Agar farq nolga teng bo'lsa (d=0), u holda ketma-ketlik na ortib, na kamayib boradi; statsionar bo'ladi . Bu gaplar to'g'ridan-to'g'ri arifmetik progressiyaning ta'rifidan kelib chiqadi.

Xususiyatlari

Arifmetik progressiyaning umumiy atamasi

Raqamli arifmetik progressiyaning a'zosi formulalar yordamida topish mumkin.

Qayerda - progressiyaning birinchi muddati, uning farqi, sonli arifmetik progressiyaning a'zosi.

Arifmetik progressiyaning umumiy hadi formulasini isbotlash

Nisbatan foydalanishBiz ketma-ketlikning bir nechta shartlarini yozamiz, xususan:

bir naqshni payqab, biz shunday deb taxmin qilamiz. Matematik induktsiyadan foydalanib, biz taxmin hamma uchun to'g'ri ekanligini ko'rsatamiz:

Induksion asos :

- bayonot haqiqat.

Induksion o'tish :

Qachon gapimiz to'g'ri bo'lsin, ya'ni, keling, gapning haqiqatini qachon isbotlaylik:

Demak, gap qachon ham to'g'ri. Bu shuni anglatadikiBarcha uchun. ■

Grafik talqini

E'tibor bering, umumiy atama formulalarida progressiyaning uchinchi hadi chiziqli funktsiyadir. Keling, buni shunday tushuntiramiz.

Agar siz nuqtalarni koordinatalar bilan koordinata tekisligida chizsangiz, Qayerda raqam (natural son), va ba'zi arifmetik progressiyaning uchinchi hadi bo'lsa, barcha nuqtalar formula bilan berilgan funktsiya grafigiga tegishli bo'ladi:

Qayerda  arifmetik progressiyaning ayirmasi va uning birinchi aʼzosi . Bu teorema to'g'ri ekanligini anglatadi:

Ketma-ketlik uchunarifmetik progressiya edi, bu zarur va yetarlichiziqli funksiya edi (dan) natural sonlar to‘plamida aniqlanadi.

Isbot

Zaruriyat . Mayli arifmetik progressiya. Keyin, allaqachon ko'rsatilgandek ya'ni. Chunki chiziqli funksiya mavjud va shuni anglatadikiVa, ya'ni.chiziqli funktsiyadir, bu yerda.

Yetarlilik . Mayli chiziqli funktsiyadir, ya'ni chunki , Bu keyin. Keling, ko'rib chiqaylik. Bundan kelib chiqadi, qayerda doimiy qiymat. Keyin, bu ta'rifiga ko'ra shuni anglatadi- arifmetik progressiya. ■

Raqamlar yig'indisi teng boʻlgan arifmetik progressiyaning hadlari yig'indilari teng, ya'ni..

Arifmetik progressiyaning xarakterli xossasi

Og'zaki shakllantirish:

Raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya hisoblanadi, agar uning har bir a'zosi ikkinchidan boshlab oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymati bo'lsa.

Og'zaki-ramziy shakllantirish: ketma-ketlikarifmetik progressiya mavjuduning har qanday elementi uchun shart bajariladi

Arifmetik progressiyaning xarakterli xususiyatini isbotlash

Zaruriyat .

Chunki arifmetik progressiyadir, u holda forquyidagi munosabatlar mavjud:

.

Ushbu tenglikni qo'shib, ikkala tomonni 2 ga bo'lamiz.

Etarlilik .

Bizda ketma-ketlikning har bir elementi uchun ikkinchisidan boshlab,. Bu ketma-ketlikning arifmetik progressiya ekanligini ko'rsatish kerak. Keling, ushbu formulani shaklga aylantiramiz. Chunki munosabatlar hamma uchun to'g'ri, matematik induksiya yordamida biz buni ko'rsatamiz.

Induksion asos :

- bayonot haqiqat.

Induksion o'tish :

Qachon gapimiz to'g'ri bo'lsin, ya'ni. Keling, gapning haqiqatini qachon isbotlaylik:

Ammo induktiv gipotezadan shundan kelib chiqadi. Biz buni tushunamiz

Demak, gap qachon ham to'g'ri. Bu shuni anglatadiki.

Keling, bu farqlarni quyidagicha belgilaymiz. Shunday qilib, va bu yerdan biz bor. Chunki ketma-ketlik a'zolari uchunmunosabat saqlanib qoladi, u holda bu arifmetik progressiyadir. ■

tekshirish orqali, biz kerakli natijaga erishamiz.

Arifmetik va geometrik progressiyalar o‘rtasidagi bog‘liqlik

Mayli - farqli arifmetik progressiyava raqam. Keyin shaklning ketma-ketligimaxrajli geometrik progressiya mavjud.

Isbot
Shakllangan geometrik progressiyaning xarakteristik xususiyatini tekshiramiz: Arifmetik progressiyaning umumiy hadi uchun ifodadan foydalanamiz: Demak, xarakterli xususiyat qanoatlansa, demak - geometrik progressiya. Uning maxrajini, masalan, munosabatdan topish mumkin.

Xulosa : agar musbat sonlar ketma-ketligi geometrik progressiya hosil qilsa, ularning logarifmlari ketma-ketligi arifmetik progressiya hosil qiladi.

Yuqori tartibli arifmetik progressiyalar

Ikkinchi tartibli arifmetik progressiya - sonlar ketma-ketligi bo'lib, ularning ayirmalari ketma-ketligining o'zi oddiy arifmetik progressiyani hosil qiladi. Masalan, natural sonlar kvadratlari ketma-ketligi :

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

ularning farqlari 2 ga teng oddiy arifmetik progressiya hosil qiladi:

3, 5, 7, 9, 11, …

Uchburchak raqamlar ham ikkinchi tartibli arifmetik progressiya hosil qiladi, ularning farqlari oddiy arifmetik progressiya hosil qiladi. Shunday qilib, uchburchak raqam uchunraqam bilantenglik mavjud.

Yuqori darajali bosqichlar ham xuddi shunday aniqlanadi. Xususan, n darajali ketma-ketlik n- tartibli arifmetik progressiya hosil qiladi .

Tetraedral raqamlar uchinchi tartibli arifmetik progressiya hosil qiladi, ularning farqlari uchburchak sonlardir.

Agar - arifmetik tartibli progressiya, u holda ko'phad mavjud, hamma uchun shundaytenglik amal qiladi.

qiladi

Misollar

• Tabiiy seriyalar birinchi had arifmetik progressiyadir, va farq. so'mTabiiy qatorning birinchi shartlari " uchburchak sonlar " deb ataladi:

• - arifmetik progressiyaning dastlabki 5 ta hadi, undaVa.
• Agar ma'lum ketma-ketlikning barcha elementlari bir-biriga teng va ma'lum bir songa teng bo'lsa, u holda bu arifmetik progressiya bo'lib, undaVa. Ayniqsa,farqli arifmetik progressiya mavjud.

Farq uchun formula

Agar arifmetik progressiyaning ikkita hadi va undagi raqamlari ma'lum bo'lsa, farqni quyidagicha topishingiz mumkin.

.

1 dan 100 gacha boʻlgan raqamlar yig'indisi

Afsonaga ko'ra, yosh Gaussning maktab matematika o'qituvchisi bolalarni uzoq vaqt band qilish uchun ulardan 1 dan 100 gacha boʻlgan sonlar yig'indisini sanashni so'radi. Gauss qarama-qarshi tomondan juftlik yig'indilari bir xil ekanligini payqagan: 1 +100=101, 2+99=101, va hokazo ... va bir zumda natijani oldi: 5050. Darhaqiqat, eritma formulaga qisqarishini ko'rish oson.

ya'ni birinchisining yig'indisi formulasiganatural qator raqamlari hisoblanadi.

Adabiyotlar

• OʻzME. Birinchi jild. Toshkent, 2000-yil