复平面上的三次单位根
数学上,
次單位根是
次冪為1的複數。它們位於复平面的单位圆上,構成正多边形的頂點,但最多只可有兩個頂點同時標在實數線上。
![{\displaystyle z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b613362fe31c8129f107ee3cded1b148136db82a)
这方程的複數根
為
次單位根。
單位的
次根有
個:
。
單位的
次根以乘法構成
階循環群。它的生成元是
次本原單位根。
次本原單位根是
,其中
和
互質。
次本原單位根數目為歐拉函數
。
全体i次单位根对普通乘法作成群,即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群,且这是一个无限交换群,这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。
一次單位根有一個:
。
二次單位根有兩個:
和
,只有
是本原根。
三次单位根是
![{\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab58aa3989d88c306caf2804377e4a70e7972fd4)
其中
是虚數單位;除
外都是本原根。
四次單位根是
![{\displaystyle \left\{1,i,-1,-i\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9127ead699881799c6fddb3cc0a9a757a5632d)
其中
和
是本原根。
當
不小於
时,
次單位根總和為
。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數:
。
第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形的重心在原點。
還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理,由分圓方程的
項係數為零得出。