貴金屬比例、貴金屬分割(英語:metallic ratio)定义为
(n为自然数)
所表示的比率。
随
值的不同,又称为第
貴金屬比例、第
貴金屬分割。特别地,第1貴金屬比例
称为黄金比例、第2貴金屬比例
称为白銀比例、第3貴金屬比例
称为青銅比例。
[1]
貴金属数
0
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1
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1
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1
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1.6180339887...
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2
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2.4142135623...
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3
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3.3027756377...
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4
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4.2360679774...
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5
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5.1925824035...
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6
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6.1622776601...
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7
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7.1400549446...
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8
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8.1231056256...
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9
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9.1097722286...
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n
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貴金属数是
![{\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc525ad85eebd025103eb00678b7ea3923efa19d)
即二次方程式
的正根。
貴金属数的連分数表示是:
![{\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95c55de273af96c5fcd4a6cc7fc45fc1022d0f1)
黄金数(第1貴金属数)是斐波那契数列相邻两项的比的极限,白银数(第2貴金属数)是佩尔数列相邻两项的比的极限;一般地,也存在以第
貴金属数为相邻两项的比的极限的数列。
数列
的递推关系式
![{\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c19369d372742f10380a4ed56813817ea24ba9)
一旦定义了此关系式,则在此之中,第
貴金属数为
,有
![{\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5bd846603a408f7ca5461767e82354099daa7f)
成立。在这种情况下,这个序列的两个相邻项的商数在
收敛于
。即
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9a8e413b7cd1f1e17572adc5fe0ceb0d1b3c45)
成立。