Kegle (geometri): Forskelle mellem versioner

Content deleted Content added

Inline

Nuværende version fra 6. jan. 2023, 03:39

For alternative betydninger, se Kegle. (Se også artikler, som begynder med Kegle)

En kegle eller konus er en geometrisk figur og er illustreret på tegningen til højre side. Fysiske ting som har en form som en matematisk kegle kaldes for kegleformet eller konisk.

Rumfanget (Volumen) af en kegle er givet ved

V=1/3\cdot \pi \cdot h\cdot r^{2}

hvor:

$h$ er højden i figuren
$r$ er radius af den cirkulære endeflade.

Arealet (overfladen) af en kegle er givet ved

A=\pi \cdot r^{2}+\pi \cdot r\cdot s

s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}

hvor:

$h$ er højden i figuren.
$r$ er radius af den cirkulære endeflade.
$s$ er hypotenusen i trekanten med kateterne $h$ og $r$ .

Bevis for volumen af kegle ved hjælp af omdrejningslegeme omkring x-aksen

Beviset tager udgangspunkt i volumen af omdrejningslegeme omkring x-aksen. Beviset ses herunder, og forløber således: der findes et andet udtryk for hældningen (a)

i den rette linje (f(x)), som har en b-værdi på 0, da den skærer y-aksen i origo (0,0). Herefter indsættes funktionen i udtrykket for volumen af omdrejningslegeme omkring

x-aksen. Da r og h er konstanter, kan denne brøk sættes ud foran integraltegnet, og vi kan nu hæve integraltegnet ved at integerere x kvadreret, og indsætte grænserne

som er fra 0 til h, som kan ses på skitsen. Herefter forkortes vores udtryk, og vi har nu bevist volumen af en kegle.

{\begin{aligned}&f(x)=ax\\&a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {r}{h}}\\&f(x)={\frac {r}{h}}\cdot x\\&V=\pi \cdot \int _{0}^{h}\left({\frac {r}{h}}\cdot x\right)^{2}dx\\&V=\pi \cdot {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\cdot \int _{0}^{h}x^{2}dx\\&V=\pi \cdot {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot h^{3}\\&V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot h\cdot r^{2}\end{aligned}}

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
+{{harflertydig|Kegle}}
-En '''kegle''' er illustreret på tegning til højre side.
+En '''kegle''' eller '''konus''' er en [[geometrisk]] figur og er illustreret på tegningen til højre side. Fysiske ting som har en form som en matematisk kegle kaldes for '''kegleformet''' eller '''konisk'''.
 [[Fil:Cone_3d.png|thumb|Kegle]]
@@ Linje 6: / Linje 7: @@
 [[Rumfang]]et (Volumen) af en kegle er givet ved
-<math> V = 1/3 \cdot \pi \cdot h \cdot r^2</math>
+:<math> V = 1/3 \cdot \pi \cdot h \cdot r^2</math>
 hvor:
@@ Linje 14: / Linje 15: @@
 [[Areal]]et (overfladen) af en kegle er givet ved
-<math> A =  \pi  \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s</math>
+:<math> A =  \pi  \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s</math>
-<math> s =  \sqrt{r^2 + h^2}</math>
+:<math> s =  \sqrt{r^2 + h^2}</math>
 hvor:
-* <math>h</math> er højden i figuren
+* <math>h</math> er højden i figuren.
 * <math>r</math> er radius af den cirkulære endeflade.
+* <math>s</math> er hypotenusen i trekanten med kateterne <math>h</math> og <math>r</math>.
-== Bevis på formel for rumfang via. 3D-integrale ==
+== Bevis for volumen af kegle ved hjælp af omdrejningslegeme omkring x-aksen ==
+Beviset tager udgangspunkt i volumen af omdrejningslegeme omkring x-aksen. Beviset ses herunder, og forløber således: der findes et andet udtryk for hældningen (a)
-Dette bevis virker måske meget avanceret, men hvis man har god styr over sin potens, brøk, parrents og integrale regning skulle den være forståelig.
+i den rette linje (f(x)), som har en b-værdi på 0, da den skærer y-aksen i origo (0,0). Herefter indsættes funktionen i udtrykket for volumen af omdrejningslegeme omkring
-Kik venligst på billedet, i forbindelse med beviset for den bedste forståelse. b=r og c=x
-[[Fil:Kegle,_via._3D-integrale,_tegning.jpg|thumb|Tegning til beviset]]
-[[Fil:Kegle,_via._3D-integralle.gif|Kegle-formler]]
-{{Commonskat|Cones}}
+x-aksen. Da r og h er konstanter, kan denne brøk sættes ud foran integraltegnet, og vi kan nu hæve integraltegnet ved at integerere x kvadreret, og indsætte grænserne
-[[Kategori:Geometriske former]]
+som er fra 0 til h, som kan ses på skitsen. Herefter forkortes vores udtryk, og vi har nu bevist volumen af en kegle.
+[[Fil:Volumen af kegle skitse.png|thumb|Skitse til bevist (funktionen omdrejes 360 grader om x-aksen)]]
+:<math>
+\begin{align}
+& f(x) = ax \\
+& a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{r}{h} \\
+& f(x) = \frac{r}{h} \cdot x \\
+& V = \pi \cdot \int_0^h \left(\frac{r}{h} \cdot x\right)^2 dx \\
+& V = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \int_0^h x^2 dx \\
+& V = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \frac{1}{3} \cdot h^3 \\
+& V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \cdot r^2
+\end{align}
+</math>
+{{Commonskat|Cones}}
+{{autoritetsdata}}
-[[am:ሾጣጣ]]
+[[Kategori:Rumgeometri]]
+[[Kategori:Elementære former]]
-[[ar:مخروط]]
-[[ay:Pullu]]
-[[az:Konus]]
-[[be:Конус]]
-[[be-x-old:Конус]]
-[[bg:Конус]]
-[[bs:Konus]]
-[[ca:Con]]
-[[chy:Tsé-éškôsa'évetováto]]
-[[cs:Kužel]]
-[[cy:Côn]]
-[[de:Kegel (Geometrie)]]
-[[el:Κώνος]]
-[[en:Cone]]
-[[eo:Konuso]]
-[[es:Cono (geometría)]]
-[[et:Koonus]]
-[[eu:Kono]]
-[[fa:مخروط]]
-[[fi:Kartio]]
-[[fr:Cône (géométrie)]]
-[[gan:錐形]]
-[[he:חרוט]]
-[[hr:Stožac]]
-[[hu:Kúp]]
-[[hy:Կոն]]
-[[id:Kerucut]]
-[[it:Cono]]
-[[ja:円錐]]
-[[kk:Конус]]
-[[km:កោន]]
-[[ko:원뿔]]
-[[lt:Kūgis]]
-[[lv:Konuss]]
-[[mk:Конус]]
-[[mn:Конус]]
-[[nl:Kegel (ruimtelijke figuur)]]
-[[nn:Kjegle]]
-[[no:Kjegle]]
-[[pl:Stożek (geometria)]]
-[[pms:Còno]]
-[[ps:بوکر]]
-[[pt:Cone]]
-[[qu:Chuqu]]
-[[ro:Con]]
-[[ru:Конус]]
-[[scn:Conu]]
-[[sh:Stožac]]
-[[simple:Cone]]
-[[sk:Kužeľ]]
-[[sl:Stožec]]
-[[sn:Charaka]]
-[[so:Toobin]]
-[[sq:Koni]]
-[[sr:Купа (геометрија)]]
-[[su:Congcot]]
-[[sv:Kon]]
-[[sw:Pia]]
-[[ta:கூம்பு]]
-[[th:ทรงกรวย]]
-[[tl:Balisuso]]
-[[tr:Koni]]
-[[uk:Конус]]
-[[vi:Mặt nón]]
-[[yi:קאנוס]]
-[[zh:圆锥]]