Produto de matrices

En matemáticas, particularmente en álxebra lineal, a multiplicación de matrices é unha operación binaria que produce unha matriz a partir de dúas matrices. Para a multiplicación de matrices, o número de columnas da primeira matriz debe ser igual ao número de filas da segunda matriz. A matriz resultante, coñecida como produto matricial, ten o número de filas da primeira e o número de columnas da segunda matriz. O produto das matrices $A$ e $B$ denotase como $AB$ .^[1]

O cálculo de produtos matriciales é unha operación central en todas as aplicacións computacionais da álxebra lineal.

Definicións

Produto de matrices

Se $A$ é unha matriz $m \times n$ e $B$ é unha matriz $n \times p$ , $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}$ o produto matricial $C = AB$ (indicado sen signos ou puntos de multiplicación) defínese como a matriz $m \times p$ ^[2]^[3]^[4]^[5]

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}

tal que

c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},

para

i = 1, ..., m

;

i = 1, ..., m

e

j = 1, ..., p

j = 1, ..., p

.

É dicir, o elemento $c_{ij$ } do produto obtense multiplicando termo por termo as entradas da $i$ -ésima fila de $A$ e a $j$ -ésima columna de $B$ , e sumando estes $n$ produtos. Noutras palabras, $c_{ij$ } é o produto escalar da $i$ -ésima fila de $A$ e a $j$ -ésima columna de $B$ .

Por tanto, o produto $AB$ defínese se e só se o número de columnas en $A$ é igual ao número de filas en $B$ ,^[1] neste caso $n$ .

A figura seguinte mostra como calcular os coeficientes $c_{12}$ e $c_{33}$ da matriz produto $AB$ se $A$ é unha matriz de tipo $(4,2)$ , et $B$ é unha matriz de tipo $(2,3)$ .

${\color {BrickRed}c_{12}}=\sum _{r=1}^{2}a_{1r}b_{r2}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}$

${\color {NavyBlue}c_{33}}=\sum _{r=1}^{2}a_{3r}b_{r3}=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}$

Exemplos

{\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&4\\-2&-3\\\end{pmatrix}}

={\begin{pmatrix}(1\times 3+0\times -2)&(1\times 4+0\times -3)\\(2\times 3+-1\times -2)&(2\times 4+-1\times -3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\\8&11\end{pmatrix}}

.

En xeral, o produto des matrices non é conmutativa, Isto é, $AB$ non é igual a $BA$ , como mostra o seguinte exemplo:

{\begin{pmatrix}1&2&0\\4&3&-1\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}5&1\\2&3\\3&4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&7\\23&9\\\end{pmatrix}}

,

mentres que,

{\begin{pmatrix}5&1\\2&3\\3&4\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2&0\\4&3&-1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&13&-1\\14&13&-3\\19&18&-4\\\end{pmatrix}}

Produto escalar

O produto escalar $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ de dous vectores $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ de igual lonxitude é igual a un elemento único (sería unha matriz $1\times 1$ ) resultante de multiplicar estes vectores como un vector fila por un vector columna, así: $\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$ (ou $\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a}$ ).

O produto escalar dos dous vectores

a={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}

e

b={\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}

calcúlase como

a\cdot b={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36

.

Aplicacións fundamentais

Historicamente, a multiplicación matricial foi introducida para facilitar e aclarar os cálculos en álxebra linear.

Mapas lineares

Un mapa linear $A$ dun espazo vectorial de dimensión $n$ nun espazo vectorial de dimensión $m$ mapea un vector columna

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}

sobre o vector columna

\mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.

O mapa linear $A$ está así definido pola matriz

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},

e mapea o vector columna $\mathbf {x}$ no produto matricial

\mathbf {y} =\mathbf {Ax} .

Rotacións xeométricas

Usando un sistema de coordenadas cartesianas nun plano euclidiano, a rotación dun ángulo $\alpha$ arredor da orixe é un mapa linear. Máis precisamente,

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},

onde o punto de orixe $(x,y)$ e a súa imaxe $(x',y')$ escríbense como vectores columna.

Sistema de ecuacións lineares

A forma xeral dun sistema de ecuacións lineares é

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}

Usando a mesma notación anterior, tal sistema é equivalente á ecuación matricial única

\mathbf {Ax} =\mathbf {b} .

Produto escalar, forma bilinear e forma sesquilinear

O produto escalar de dous vectores columna é o único elemento do produto matricial

\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,

onde $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}$ é o vector fila obtido mediante a transposición de $\mathbf {x}$ .

Máis xeralmente, calquera forma bilinear sobre un espazo vectorial de dimensión finita pode expresarse como un produto matricial

\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Ay} ,

e calquera forma sesquilinear pode expresarse como

\mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {Ay} ,

onde $\mathbf {x} ^{\dagger }$ denota a transposta conxugada de $\mathbf {x}$ (conxugada da transposta, ou equivalentemente transposta da conxugada).

Multiplicación matricial por bloque

Se consideramos as matrices $M=\left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)$ e $N=\left({\begin{smallmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{smallmatrix}}\right)$ , onde $A,A',B,B',C,C'$ e $D,D'$ son matrices que verifican:

O número de columnas en $A$ e $C$ é igual ao número de filas en $A'$ e $B'$
O número de columnas en $B$ e $D$ é igual ao número de filas en $C'$ e $D'$

entón temos a igualdade

MN={\begin{pmatrix}AA'+BC'&AB'+BD'\\CA'+DC'&CB'+DD'\end{pmatrix}}

Observe a analoxía entre o produto da matriz de bloques e o produto de dúas matrices cadradas de orde 2. por tanto isto non define unha nova forma de produto de matrices. Este é simplemente un método de cálculo de produto matricial común que pode simplificar os cálculos.

Produto de Hadamard

Artigo principal: Produto de Hadamard.

Para dúas matrices do mesmo tipo, temos o "produto Hadamard" ou produto compoñente por compoñente. O produto de Hadamard de dúas matrices $A=(a_{ij})$ e $B=(b_{ij})$ de tipo $(m,n)$ , denotado $A \cdot B = (c ij)$ , é unha matriz de tipo $(m,n)$ dada por

c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}.

Por exemplo:

{\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&2\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 0&3\times 0&2\times 2\\1\times 7&0\times 5&0\times 0\\1\times 2&2\times 1&2\times 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\7&0&0\\2&2&2\end{pmatrix}}.

Este produto é unha submatriz do produto de Kronecker.

Produto de Kronecker

Artigo principal: Produto de Kronecker.

Para dúas matrices arbitrarias $A=(a_{ij})$ e $B$ , temos o produto tensor ou produto de Kronecker $A \otimes B$ que se define por

{\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}

Se $A$ é unha matriz de tipo $(m,n)$ e $B$ é unha matriz de tipo $(p,r)$ daquela $A \otimes B$ é unha matriz de tipo $(mp,nr)$ . De novo esta multiplicación non é conmutativa.

Por exemplo

{\begin{pmatrix}1&2\\3&1\\\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&3\\2&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 0&1\times 3&2\times 0&2\times 3\\1\times 2&1\times 1&2\times 2&2\times 1\\3\times 0&3\times 3&1\times 0&1\times 3\\3\times 2&3\times 1&1\times 2&1\times 1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{pmatrix}}

.

Se $A$ e $B$ son as matrices de mapas lineares $V 1 \to W 1$ e $V 2 \to W 2$ , respectivamente, logo $A \otimes B$ representa o produto tensor dos dous mapas, $V 1 \otimes V 2 \to W 1 \otimes W 2$ .

Propiedades comúns

Os tres produtos de matrices anteriores, e tamén o produto común de matrices, son asociativos

A\times (B\times C)=(A\times B)\times C

,

distributivos en relación coa suma:

A\times (B+C)=A\times B+A\times C

(A+B)\times C=A\times C+B\times C

e compatíbeis coa multiplicación por un escalar:

c(A\times B)=(cA)\times B=A\times (cB)

Multiplicación por un escalar

O produto por un escalar $r$ dunha matriz $A=(a_{ij})$ dá o resultado

rA=(ra_{ij})

.

Se estamos a traballar con matrices nun anel, a multiplicación por un escalar ás veces chámase "multiplicación á esquerda" mentres que "multiplicación á dereita" defínese por:

Ar=(a_{ij}r)

.

Cando o anel é un anel conmutativo, por exemplo, o corpo dos reais ou dos complexos, as dúas multiplicacións son idénticas.

Porén, se o anel non é conmutativo, como o dos quaternións, entón poden ser diferentes. Por exemplo

i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i

Outros tipos de produto de matrices

Outros tipos de produtos de matrices, a maiores dos xa vistos, inclúen:

Produto cracoviano, definido como $A \land B = B T A$
Produto interno de Frobenius, o produto escalar das matrices consideradas vectores ou, equivalentemente, a suma das entradas do produto de Hadamard
Produto Khatri-Rao e produto Face-splitting
Produto exterior, tamén chamado produto diádico ou produto tensor de matrices de dúas columnas, que é $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}$

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 "matrix vector multiplication". Math Insight.
↑ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (4th ed.). McGraw Hill (USA). pp. 30–31. ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ Adams, R. A. (1995). Calculus, A Complete Course (3rd ed.). Addison Wesley. p. 627. ISBN 0-201-82823-5.
↑ Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 6. ISBN 978-0-521-54823-6.

Véxase tamén

Bibliografía

Henry Cohn, Robert Kleinberg, Balázs Szegedy, and Chris Umans. Group-theoretic Algorithms for Matrix Multiplication. arXiv:math.GR/0511460. Proceedings of the 46th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 23–25 outubro 2005, Pittsburgh, PA, IEEE Computer Society, pp. 379–388.
Henry Cohn, Chris Umans. A Group-theoretic Approach to Fast Matrix Multiplication. arXiv:math.GR/0307321. Proceedings of the 44th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 11–14 outubro 2003, Cambridge, MA, IEEE Computer Society, pp. 438–449.
Coppersmith, D.; Winograd, S. (1990). "Matrix multiplication via arithmetic progressions". J. Symbolic Comput. 9 (3): 251–280. doi:10.1016/s0747-7171(08)80013-2.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1.
Knuth, D.E., The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley Professional; 3 edition (novembro 14, 1997). ISBN 978-0-201-89684-8. pp. 501.
Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. .
Ran Raz. On the complexity of matrix product. In Proceedings of the thirty-fourth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM Press, 2002. doi 10.1145/509907.509932.
Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), novembro 2005. PDF
Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354–356, 1969.
Styan, George P. H. (1973). Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis (PDF). Linear Algebra and Its Applications 6. pp. 217–240. doi:10.1016/0024-3795(73)90023-2.
Williams, Virginia Vassilevska (2012-05-19). "Multiplying matrices faster than coppersmith-winograd". Proceedings of the 44th symposium on Theory of Computing - STOC '12. ACM. pp. 887–898. ISBN 9781450312455. doi:10.1145/2213977.2214056.

Outros artigos

Ligazóns externas

Multiplicateur de matrices

[:1-1] 1,0 ^1,1 "matrix vector multiplication". Math Insight.

[2] Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (4th ed.). McGraw Hill (USA). pp. 30–31. ISBN 978-0-07-154352-1.

[3] Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[4] Adams, R. A. (1995). Calculus, A Complete Course (3rd ed.). Addison Wesley. p. 627. ISBN 0-201-82823-5.

[5] Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 6. ISBN 978-0-521-54823-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]