Kugla
Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od neke čvrste točke (središta) S manja ili jednaka polumjeru r. Omeđena je sferom polumjera r, tj. skupom točaka prostora čija je udaljenost od središta jednaka r. Među svim tijelima danog obujma kugla ima najmanje oplošje.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Ball.agr.jpg/220px-Ball.agr.jpg)
Izraz za obujam kugle izveo je još Arhimed koji je pokazao da je obujam kugle jednak 2/3 obujma kugli opisanog valjka, a sukladno kasnije formuliranom Cavalierievom pravilu. U suvremenoj matematici izraz za obujam kugle se izvodi posredstvom integralnog računa.
Postavimo kuglu polumjera r u središte x, y, z koordinatnog sustava tako da os x bude smještena vodoravno, a os y okomito. Tako postavljenu kuglu možemo podijeliti na vrlo velik broj diskova koji će stajati paralelno u odnosu na ravninu koju određuju osi y i z. Polumjer svakog diska određen je koordinatom y, gdje će y poprimati vrijednosti od y=0 do y=r i natrag do y=0. Obujam svakog diska jednak je približno umnošku površine diska i debljine diska:
za neki dati x. Kako raste broj podjela tako
i možemo provesti sve točniju sumaciju svih diskova kugle te je:
Kako broj diskova teži u beskonačnost tako i debljina diskova teži k nuli. U tom procesu je očito na kraju debljina svakog diska beskonačno mala te možemo provesti integraciju:
Iz presjeka kugle duž ravnine x/y slijedi da je:
te se integral može prikazati i na ovaj način:
odakle redom slijedi:
te je konačno obujam kugle:
Podijelimo li kuglu na velik broj koncentričnih sferastih ljuski površine O i debljine:
te pustimo li da:
možemo provesti integraciju:
gdje je rezultat integracije obujam kugle, odnosno:
- .
Diferencirajući ovu jednadžbu nalazimo da je za r=R:
odakle slijedi da je oplošje kugle jednako:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Kugl_isjecak.png/220px-Kugl_isjecak.png)
Općenita jednadžba kugle sa središtem u točki S(a, b, c) određena je jednakosti:
Kuglin isječak je geometrijsko tijelo nastalo rotacijom kružnog isječka oko osi rotacije, promjera. Obujam kuglinog isječka za polumjer kugle r je:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Kuglin_osjecak.png/220px-Kuglin_osjecak.png)
Kuglin odsječak (kalota) je geometrijsko tijelo, tj. dio kugle nastao presjecanjem kugle i ravnine. Površina kuglinog odsječka (kalote) za polumjer kugle r i visine kalote h je:
Obujam kuglinog odsječka, ako je kugla polumjera r i visine odsječka h :