Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411ef85e18cd53cd27b454fbe95aece84da6eacf)
dove la variabile
indica un numero primo.
Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.
Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243c1b6cd085062646768cc889132f3bd1d31360)
per ogni
intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene
![{\displaystyle n\,\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad9ea942d2d1d153f7ee627fddf1ddf658e0660)
da cui
![{\displaystyle \ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468ebcfe90b50f7a71e4c9ee71fab8f280d6ee09)
e infine
![{\displaystyle \ln \left(n+1\right)-\ln \left(n\right)<{\frac {1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16de93df90dcb3f2afcca4ad1f5c9486abed24df)
Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a
si ricava
[1]
Quest'ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.
Adesso definiamo il prodotto
come
![{\displaystyle P\left(x\right)=\prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca767ed6ce233712b4700811307778b07e789302)
Sapendo che
[2]
si ricava
![{\displaystyle P\left(x\right)=\sum _{n\in A\left(x\right)}{\frac {1}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b655fc86fd507fa32b2214f9bf2d121ff823c385)
dove l'insieme
è definito come
![{\displaystyle A\left(x\right)=\lbrace n:p|n\Longrightarrow p\leq x\rbrace .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8788e21c9377e69db4904707ce70fe5a919c74f)
Evidentemente se
allora
quindi
![{\displaystyle P\left(x\right)>\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5603a87bd1a44630a2ef116372ba70d7cd7cdb47)
e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava
![{\displaystyle P\left(x\right)>\ln \left(x+1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cfadfdd9521e752ea66a4fbbd1889f96e5b989)
Adesso sapendo che
per ogni
si ottiene
![{\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}>-{\frac {1}{2}}\sum _{p\leq x}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {1}{2}}\ln P\left(x\right)>{\frac {1}{2}}\ln \ln x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c1504e58072f9b2ad18d2243e79d66bfa3f93)
dove l'ultimo membro diverge per
tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.
Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:
![{\displaystyle S=\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}-\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11baf21b7e13c17d3728528cf6be4882623f722)
usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di
:
![{\displaystyle S=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{4p^{2}}}+\cdots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3add8a530db02965026e20353e367c6dd847c7)
I termini
ecc., possono essere maggiorati come:
![{\displaystyle S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcbaaad513c03060d29d825826a08d960724142)
Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi
![{\displaystyle S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p}}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a0148f7c98deb17e00afacd71d9c469c1153b4)
Poiché la somma
cresce come
per
tendente all'infinito, Eulero concluse che
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}}}\approx \ln \ln {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a46e48981ad091889d1b4aa60ceccde44839d3b)
La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.
Per assurdo sia
allora esiste un numero primo
tale che
.
Sia
un intero arbitrario, indichiamo con
il numero di interi minori o uguali a
che hanno solo fattori primi minori o uguali a
, indichiamo anche
. Abbiamo che
![{\displaystyle N_{2}\leq \sum _{p\geq P}\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor <\sum _{p\geq P}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a60b3e382f1e6bb2c52e3ee79f79336c8db058)
Ora stimiamo
, scriviamo
, ogni
si può scrivere nella forma
![{\displaystyle x=yz^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092fa14c54874136a444565d67723297a6f7ec72)
dove
è privo di quadrati e
, se
è divisibile solo per i primi minori o uguali a
, allora lo è anche
. Ci sono meno di
possibili scelte per
e meno di
scelte per
, da cui
![{\displaystyle N_{1}\leq 2^{k}{\sqrt {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffb9da245dc58b405a497449c66cb28651d29bc)
e quindi
![{\displaystyle N<2^{k}{\sqrt {N}}+{\frac {N}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ee678ce78f72e5e08f4a41c075727b71da086b)
si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l'ennesimo numero primo si ha
e di conseguenza
, quindi possiamo scegliere
e troviamo
![{\displaystyle N<2^{k}(2^{k+1})+2^{2k+1}=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8484ee23faf9469eaa89c2eeeca073337472cf)
che è assurdo e conclude la dimostrazione.
Come nella dimostrazione precedente, notiamo che se la serie dei reciproci dei primi convergesse, allora esisterebbe
tale che
, dove con
indichiamo il
-esimo numero primo. Consideriamo ora il numero
: si osserva immediatamente come
per
non sia divisibile dai primi
. Dunque, la decomposizione in fattori primi di
richiede i primi successivi a questi, ossia
. Se ne deduce quindi che
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+nQ}}<\sum _{t=1}^{\infty }\left(\sum _{m=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{m}}}\right)^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2580d7037871f24e20dba7294e672bb8538b5b)
poiché ogni termine della sommatoria a sinistra si può trovare sviluppando sufficientemente la doppia sommatoria a destra. Per la disuguaglianza ottenuta dall'ipotesi iniziale, segue però che
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+nQ}}<\sum _{t=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816f15dd5f0c88ef4c8bf50b3a91e5d42d965493)
e la serie a destra, geometrica di ragione
, converge a 1, quindi per il criterio del confronto anche la serie
converge. Ciò è una contraddizione, poiché è immediato verificare come questa serie in realtà diverga: per il criterio di confronto tra serie e integrale, la nostra serie converge se e solo se converge il seguente integrale,
, che però diverge, poiché
![{\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{1+Qx}}dx=\lim _{c\rightarrow +\infty }{\frac {1}{Q}}\left[\ln(1+Qx)\right]_{1}^{c}=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f16fc2a8334749dd2492f44c29cdfd7c376301)
Quindi, come volevasi dimostrare, la serie dei reciproci dei primi diverge[3][4].
- ^ Questa è una serie telescopica che si riduce a
.
- ^ Questa è la formula (vista "al contrario") della serie geometrica, per cui, dato
(in questo caso
), si ha
.
- ^ Clarkson (1965) (PDF), su ams.org.
- ^ Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. URL consultato il 24 giugno 2024.