Tetracja
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Infinite_power_tower.svg/220px-Infinite_power_tower.svg.png)
Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące wielokrotnym potęgowaniem elementu przez siebie.
Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc tetra- (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory:
- dodawanie
-
- powiększone o razy.
-
- mnożenie
-
- dodane do siebie razy.
-
- potęgowanie
-
- pomnożone przez siebie razy.
-
- tetracja
-
- potęgowane przez siebie razy.
-
gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej.
W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ma uogólnienia wartości na liczby wymierne (a tym bardziej na rzeczywiste).
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej i nieujemnej liczby całkowitej definiujemy jako:
Iterowane potęgowanie
[edytuj | edytuj kod]Jak widać z definicji, kiedy wyliczamy tetrację wyrażoną jako „wieża potęgowania”, potęgowanie rozpoczyna się w najgłębszym poziomie (w zapisie na najwyższym poziomie). Innymi słowy:
Należy pamiętać, że potęgowanie nie jest łączne, czyli obliczanie wyrażenia w odwrotnej kolejności prowadzi do innego wyniku:
Z tego powodu wyrażenia te muszą być obliczane z góry do dołu (lub od prawej do lewej).
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]W poniższej tabeli większość wartości jest zbyt duża, by je zapisać w notacji naukowej, zastosowano więc iterowany zapis wykładniczy, aby je wyrazić w podstawie 10. Wartości zawierające przecinek dziesiętny są przybliżone.
1 1 1 1 2 4 16 65 536 3 27 7 625 597 484 987 4 256 5 3125 6 46 656 7 823 543 8 16 777 216 9 387 420 489 10 10 000 000 000
Terminologia
[edytuj | edytuj kod]Istnieje wiele określeń dla tetracji, z których każdy ma swoje logiczne uzasadnienie, lecz nie stały się powszechne z różnych powodów. Poniżej jest zestawienie każdego terminu z uzasadnieniem za i przeciw.
- Termin tetracja, wprowadzony przez Goodsteina w 1947 roku w publikacji Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory[1] (uogólniające rekursywne reprezentacje podstawowe użyte w twierdzeniu Goodsteina do zastowania w wyższych operacjach), zdobył dominującą pozycję. Także termin ten spopularyzował Rudy Rucker w pracy Infinity and the Mind .
- Termin superpotęgowanie został opublikowany przez Bromera w Superexponentiation w 1987[2]. Terminu tego używał wcześniej Ed Nelson w swojej książce Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
- Termin hiperpotęgowanie[3] jest naturalnym złożeniem hiper i potęgowanie, który trafnie opisuje tetrację. Problem tkwi w znaczeniu hiper w odniesieniu do hierachii hiper operatorów. Rozważając hiper operatory, termin hiper odnosi się do wszystkich pozycji, a termin super odnosi się do pozycji 4 lub tetracji. Wobec tych rozważań hiperpotęgowanie jest mylące, gdyż odnosi się tylko do tetracji.
- Termin wieża wykładnicza[4] jest używany sporadycznie, w postaci „wieża wykładnicza rzędu ” dla
Tetracja jest często mylona z blisko powiązanymi funkcjami i wyrażeniami. To dlatego, że wiele terminów przez nie używane, może być zastosowane w tetracji. Oto kilka powiązanych terminów:
Forma Terminologia Tetracja Iterowana funkcja wykładnicza Zagnieżdżone potęgowanie (także wieże) Nieskończone potęgowanie (także wieże)
W pierwszym wyrażeniu jest podstawą, a ilość pojawiania się jest wysokością. W trzecim wyrażeniu, jest wysokością, lecz każda podstawa jest inna.
Należy zachować ostrożność przy powoływaniu się na iterowane potęgowanie, jako że taka forma zapisu wyrażeń nie jest jednoznaczna.
Notacja
[edytuj | edytuj kod]Sposoby zapisu tetracji (niektóre z nich pozwalają nawet na wyższy poziom iteracji) obejmują:
Nazwa Forma Opis Zapis standardowy Używany przez Maurera [1901] i Goodsteina [1947]; Zapis spopularyzował Rudy Rucker w książce Infinity and the Mind . Notacja strzałkowa Knutha Pozwala na rozszerzenie przez dodanie większej ilości strzałek lub, jeszcze silniej, indeksowanych strzałek. Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 2 (odpowiednik rozszerzenia powyżej), lecz także jeszcze silniej, przez wydłużenie łańcucha strzałek. Funkcja Ackermanna Pozwala w szczególnym przypadku na zapis z punktu widzenia funkcji Ackermanna. Iterowany zapis wykładniczy Pozwala na łatwe rozszerzenie do iterowanych potęg dla wartości początkowych innych niż 1. Zapis Hooshmand[5] Zapis hiper operator Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 4; co daje rodziny hiper operacji. Zapis ASCII a^^n
Ponieważ strzałka jest używana identycznie jak daszek ( ^
), operator tetracji może zostać zapisany jako (^^
).
Jeden z zapisów powyżej używa iterowanego zapisu wykładniczego, który w ogólności jest zdefiniowana następująco:
- gdzie „” występuje n razy.
Nie ma wielu zapisów dla iterowanego potęgowania, ale oto kilka z nich:
Nazwa Forma Opis Standardowy Euler stworzył zapis a iteracyjny zapis istnieje równie długo. Zapis strzałkowy Knutha Pozwala na superpotęgowanie i funkcje superwykładnicze przez zwiększanie liczby strzałek. Zapis Ioannis Galidakisa Pozwala na duże wyrażenia w podstawie[6]. ASCII (pomocnicze) a^^n@x
W oparciu o pogląd, że powtórzony wykładnik jest pomocniczą tetracją. ASCII (standard) exp_a^n(x)
Na podstawie standardowego zapisu.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ R.L. Goodstein. Transfinite ordinals in recursive number theory. „Journal of Symbolic Logic”. 12 (4), s. 123–129, 1947. DOI: 10.2307/2266486.
- ↑ N. Bromer , Superexponentiation, „Mathematics Magazine”, 60 (3), 1987, s. 169–174, JSTOR: 2689566 .
- ↑ J.F. MacDonnell. Somecritical points of the hyperpower function . „International Journal of Mathematical Education”. 20 (2), s. 297–305, 1989. MR994348.
- ↑ Eric W. Weisstein , Power Tower, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- ↑ M.H. Hooshmand. Ultra power and ultra exponential functions. „Integral Transforms and Special Functions”. 17 (8), s. 549–558, 2006. DOI: 10.1080/10652460500422247.
- ↑ Ioannis Galidakis: On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals. [dostęp 2012-09-12]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-06-08)]. (ang.).