Przejdź do zawartości

Twierdzenie Sturma

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Sturma – twierdzenie pozwalające ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w ustalonym przedziale, sformułowane przez Jacques’a Charles’a François Sturma. Jest to uogólnienie reguły znaków Kartezjusza, szacującej liczbę pierwiastków głównie wśród liczb dodatnich, ujemnych i w innych przedziałach otwartych (nieskończonych).

Ciągi Sturma

[edytuj | edytuj kod]

Dla danego wielomianu

Ciąg Sturma (wielomianu ) określony jest wzorami:

gdzie oznacza resztę z dzielenia wielomianu przez oraz jest taką liczbą naturalną, że

Innymi słowy, ciąg Sturma danego wielomianu jest (skończonym) ciągiem reszt uzyskiwanych podczas stosowania algorytmu Euklidesa do odpowiednich wielomianów jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianu oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, to jest funkcją stałą.

Twierdzenie Sturma

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych które nie są pierwiastkami wielomianu liczba różnych pierwiastków wielomianu w przedziale jest równa

Zastosowania

[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę że wszystkie pierwiastki wielomianu leżą w przedziale za taką liczbę można wziąć np.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]