Выпуклый многоугольник

Пентаграмма вписанная в правильный выпуклый пятиугольник: все диагонали лежат внутри

Выпуклый многоугольник — многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Трёхмерное обобщение — выпуклый многогранник; дальнейшее обобщение привело к появлению важного понятия выпуклого множества, сыгравшего важную роль в анализе (выпуклый анализ) и приложениях. В терминах выпуклых множеств выпуклый многоугольник можно определить как выпуклое подмножество плоскости, граница которого состоит из конечного числа прямолинейных отрезков.

Средствами планиметрии можно дать множество эквивалентных определений:

• многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная (плоский многоугольник) является выпуклым множеством;
• многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
• многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
• многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°;
• многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него.

Теоретико-множественные эквивалентные определения:

• выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
• ограниченное множество, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.

Любой треугольник является выпуклым; замкнутые фигуры из $n>3$ отрезков могут быть невыпуклыми.

Площадь выпуклого $n$-угольника без самопересечений с координатами вершин $\{(X_{i},Y_{i})\}$ (так, чтобы с индексами $i$ и $i+1$ были соседние вершины и $(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})$) вычисляется по формуле:

$S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|$.

Литература

• Выпуклый многоугольник — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский
• Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — 343 с. — (Библиотека математического кружка, вып. 4).