Множество
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совоку́пность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элеме́нтов этого множества[1]. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы[2].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Example_of_a_set.svg/220px-Example_of_a_set.svg.png)
Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным. Бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую терминологию и идеологию.
История понятия
[править | править код]Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов[3][4][5].
С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых)[6]. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, он определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством», и назвал эти объекты элементами множества. Множество всех объектов, обладающих свойством (то есть утверждением, истинность которого зависит от значения переменной ), он обозначил , а само свойство назвал характеристическим свойством множества .
Несмотря на доброкачественность этого определения, концепция Кантора привела к парадоксам — в частности, к парадоксу Рассела.
Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем обе системы пересматривались и изменялись, но в основном сохранили их характер. Они известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теория множеств Кантора стала называться наивной теорией множеств, а теорию (в частности, Рассела и Цермело), перепостроенную после Кантора, — аксиоматической теорией множеств.
В практике, сложившейся с середины XX века, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). Однако при таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).
Элемент множества
[править | править код]Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, их элементы — строчными. Если — элемент множества , то пишут (« принадлежит ») или (« содержит »). Если не является элементом множества , то пишут (« не принадлежит »).
Если всякий элемент множества содержится в , то пишут (« лежит в , является его подмножеством»). Согласно теории множеств, если , то для всякого элемента определено либо , либо .
Таким образом, порядок записи элементов множества не влияет на само множество, то есть . Помимо этого из вышесказанного следует, что для множества не определено число вхождений одинаковых элементов, то есть запись , вообще говоря, не имеет смысла, если — множество. Однако корректной будет запись множества .
Задание множества
[править | править код]Существуют два основных способа задания множеств: перечислением элементов и их описанием.
Перечисление
[править | править код]Первый способ требует задать (перечислить) все элементы, входящие в множество. Например, множество неотрицательных чётных чисел, меньших 10, задастся: Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.
Описание
[править | править код]Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать перечислением (например, если множество содержит бесконечное число элементов). В таком случае его можно описать свойствами принадлежащих ему элементов.
Множество задано, если указано условие , которому удовлетворяют все элементы , и которому не удовлетворяют . Обозначают
Например, график функции можно задать следующим образом:
где — декартово произведение множеств.
Отношения между множествами
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Venn_A_subset_B.svg/220px-Venn_A_subset_B.svg.png)
Для множеств и могут быть заданы отношения:
- включено в , если каждый элемент множества принадлежит также и множеству :
- включает , если включено в :
- равно , если и включены друг в друга:
- Для любых множеств
- Если , то
- Если , , то .
Иногда различают строгое включение () от нестрогого (), различающиеся тем, что из . Однако в большинстве случаев строгость включений не расписывают, отчего встречаются записи произвольных включений знаками строгого включения.
Операции над множествами
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Venn0001.svg/220px-Venn0001.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Venn0111.svg/220px-Venn0111.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Venn0100.svg/220px-Venn0100.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Venn0110.svg/220px-Venn0110.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Venn1110.svg/220px-Venn1110.svg.png)
Для наглядного представления операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.
Основные операции
[править | править код]Пересечение (множество общих точек):
- .
Объединение (множество всех точек):
- .
Объединение непересекающихся и () также обозначают .
Разность (множество точек первого без второго):
- .
- ;
Дополнение для (множество без ):
- .
Булеан (множество всех подмножеств):
- .
Для операций над множествами также справедливы законы де Моргана:
- ,
- .
Приоритет операций
[править | править код]Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения, затем — объединения, разности и симметрической разности[источник не указан 1782 дня]. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых, в частности, верно, что , для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если , , , то , но, в то же время, .
Декартово произведение
[править | править код]Декартовым произведением множеств и называют множество, обозначаемое , элементами которого являются всевозможные пары элементов исходных множеств; .
Удобно представить, что элементы декартова произведения заполняют таблицу элементов, столбцы которой описывают все элементы одного множества, а строки, соответственно, другого.
Мощность
[править | править код]Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции, были равномощны. Обозначается или . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если , то ) и распространяющие свойства мощности булеана конечного множества: на случай бесконечных множеств. Само обозначение во многом мотивировано этим свойством.
Наименьшая бесконечная мощность обозначается , это мощность счётного множества (биективного ). Мощность континуального множества (биективного или ) обозначаетсяя или . Во многом определение мощности континуума строится на континуум-гипотезе — предположении об отсутствии промежуточных мощностей между счётной мощностью и мощностью континуума.
Некоторые виды множеств и сходных объектов
[править | править код]Специальные множества
- Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
- Одноэлементное множество — множество, состоящее из одного элемента.
- Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества и объекты, участвующие в рассматриваемой задаче».
Сходные объекты
[править | править код]- Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
- Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
- Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
- Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
- Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
- Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.
По иерархии
[править | править код]
- Система множеств (множество множеств) — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения (например, все они могут быть подмножествами некоторого другого множества)[7].
- Алгебра множеств, кольцо множеств — примеры типов структур, являющихся системами множеств.
- Булеан — множество всех подмножеств данного множества.
- Семейство множеств — индексированный аналог системы множеств.
- Подмножество
- Надмножество
Примечания
[править | править код]- ↑ Множество // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 762. Архивировано 16 октября 2013 года.
- ↑ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. — W. H. Freeman and Company, 1974. — P. 5.
- ↑ Steve Russ. The Mathematical Works of Bernard Bolzano. — OUP Oxford, 9 December 2004. — ISBN 978-0-19-151370-1. Архивная копия от 27 апреля 2022 на Wayback Machine
- ↑ William Ewald. From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics / William Ewald, William Bragg Ewald. — OUP Oxford, 1996. — P. 249. — ISBN 978-0-19-850535-8. Архивная копия от 22 апреля 2022 на Wayback Machine
- ↑ Paul Rusnock. Bernard Bolzano: His Life and Work / Paul Rusnock, Jan Sebestík. — OUP Oxford, 25 April 2019. — P. 430. — ISBN 978-0-19-255683-7. Архивная копия от 17 апреля 2022 на Wayback Machine
- ↑ «Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens — welche Elemente der Menge genannt werden — zu einem Ganzen.» Archived copy . Дата обращения: 22 апреля 2011. Архивировано 10 июня 2011 года.
- ↑ Студопедия — Теория множеств . Дата обращения: 2 мая 2020. Архивировано 25 ноября 2020 года.
Литература
[править | править код]- К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
- Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.