라플라스 변환: 두 판 사이의 차이
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'''라플라스 변환'''(Laplace transform)은 어떠한 함수 <math>f(t)</math>에서 다른 함수로의 변환으로, [[선형 동역학계]]와 같은 [[미분 방정식]]을 풀 때 유용하게 사용된다. [[피에르시몽 라플라스]]의 이름을 따 붙여졌다. |
'''라플라스 변환'''({{lang|en|Laplace transform}})은 어떠한 함수 <math>f(t)</math>에서 다른 함수로의 변환으로, [[선형 동역학계]]와 같은 [[미분 방정식]]을 풀 때 유용하게 사용된다. [[피에르시몽 라플라스]]의 이름을 따 붙여졌다. |
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라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 |
라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다. |
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== 정의 == |
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함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환은 모든 [[실수]] t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 <math>F(s)</math>로 정의된다<ref>{{서적 인용| title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 9th | author = Kreyszig, E. | publisher = John Wiley & Sons | year = 2006 | isbn = 978-0-471-72897-9}}</ref>. |
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= s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)</math> |
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=== 전자공학적인 관점에서 라플라스 변환 === |
=== 전자공학적인 관점에서 라플라스 변환 === |
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라플라스 변환은 전자공학에서 다양하게 사용된다. |
라플라스 변환은 전자공학에서 다양하게 사용된다. |
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라플라스 변환은 시간(t)의 영역(domain)에서 <math> e^{-st}</math>의 영역(domain)으로 |
라플라스 변환은 시간(t)의 영역(domain)에서 <math> e^{-st}</math>의 영역(domain)으로 |
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공간의 basis를 바꿔주는 것으로 생각할 수 있는데, <math> e^{-st}</math>는 |
공간의 basis를 바꿔주는 것으로 생각할 수 있는데, <math> e^{-st}</math>는 |
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복소수형태로 표현할 수 있기 때문에 위상(phase)를 나타낼 수 있다. |
복소수형태로 표현할 수 있기 때문에 위상(phase)를 나타낼 수 있다. |
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따라서 라플라스 변환은 시간에 의해 표현된 어떤 신호를 |
따라서 라플라스 변환은 시간에 의해 표현된 어떤 신호를 |
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특정한 <math> e^{-st}</math> 형태의 주파수로 표현할 수 있다. |
특정한 <math> e^{-st}</math> 형태의 주파수로 표현할 수 있다. |
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함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환을 <math>F(s)</math>라 하면 다음 식을 통해 <math>F(s)</math>로부터 <math>f(t)</math>를 구할 수 있다. |
함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환을 <math>F(s)</math>라 하면 다음 식을 통해 <math>F(s)</math>로부터 <math>f(t)</math>를 구할 수 있다. |
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f(t) = \frac1{2\pi |
f(t) = \frac1{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}F(s)e^{st}\,ds,\quad i = \sqrt{-1}. |
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하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어 |
하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어 |
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양변에 라플라스 변환을 취하면 |
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\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}\mathbf{U}(s), |
s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}\mathbf{U}(s), |
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이고 이를 <math>\mathbf{X}(s)</math>에 관해 정리하면 |
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\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0) + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s), |
\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0) + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s), |
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이다. 따라서, <math>\mathbf{x}(t)</math>는 다음과 같다<ref>{{ |
이다. 따라서, <math>\mathbf{x}(t)</math>는 다음과 같다<ref>{{서적 인용| title = Linear System Theory and Design | edition = 3rd | author = Chen, C.-T. | publisher = Oxford University Press | year = 2009 | isbn = 978-0-19-539207-4 | url=http://books.google.co.kr/books/about/Linear_System_Theory_and_Design_Third_Ed.html?id=D9nXSAAACAAJ&redir_esc=y}}</ref>. |
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\mathbf{x}(t) = \exp\left[\mathbf{A}t\right]\mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t}\exp\left[\mathbf{A}(t-\tau)\right]\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)\,d\tau. |
\mathbf{x}(t) = \exp\left[\mathbf{A}t\right]\mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t}\exp\left[\mathbf{A}(t-\tau)\right]\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)\,d\tau. |
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== 참고 문헌 == |
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<references/> |
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* [[Z변환]] |
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{{토막글|수학}} |
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[[분류:해석학 (수학)]] |
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[[분류:전자공학]] |
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[[분류:디지털 신호 처리]] |
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[[분류:수리물리학]] |
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[[분류:적분 변환]] |
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[[분류:푸리에 해석학]] |
2022년 9월 23일 (금) 11:25 기준 최신판
라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.
라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.
정의
[편집]함수 의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 로 정의된다[1].
여기서 는 를 간단히 나타낸 것이고 복소수 , σ와 ω는 실수이다.
실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 로 표기하기도 한다.
성질
[편집]t shifting
[편집]참고: 는 층계 함수이다.
역변환
[편집]함수 의 라플라스 변환을 라 하면 다음 식을 통해 로부터 를 구할 수 있다.
하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어
로 가 주어져 있는 경우 부분분수 분해를 통해
를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터 는 다음과 같다.
미분방정식의 풀이
[편집]상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식
[편집]다음과 같은 차 연립 상미분 방정식을 고려하자
양변에 라플라스 변환을 취하면
이고 이를 에 관해 정리하면
이다. 따라서, 는 다음과 같다[2].
참고 문헌
[편집]- ↑ Kreyszig, E. (2006). 《Advanced Engineering Mathematics》 9판. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72897-9.
- ↑ Chen, C.-T. (2009). 《Linear System Theory and Design》 3판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-539207-4.